¿Se pueden utilizar generadores de simetría para la cuantificación?

Tome el grupo de Poincaré por ejemplo. La conservación de la masa en reposo metro 0 se genera por la invariancia con respecto a pags 2 = − ∂ m ∂ m . Ahora bien, si uno simplemente afirma

El estado donde el valor esperado de un generador de simetría es igual a la cantidad conservada debe ser estacionario

Se obtiene

0 = ! d ⟨ ψ | pags 2 − metro 0 2 | ψ ⟩ ⇒ 0 = ! ( ◻ + metro 0 2 ) ψ ( X ) ,

es decir, la ecuación de Klein-Gordon. Ahora me pregunto, ¿es esto generalmente una cuantización posible? ¿Proporciona esto, por ejemplo, la ecuación de Dirac para s = 1 2 cuando se aplica al pseudo-vector de Pauli-Lubanski W m = 1 2 ϵ m v ρ σ METRO v ρ PAGS σ al cuadrado (que tiene el valor esperado − metro 0 2 s ( s + 1 ) )?

Una simetría le brinda un conjunto de estados propios, lo cual es un paso en la dirección correcta, pero también debe poder determinar sus valores propios correspondientes, y un solo generador no hace eso.
@Joe Estaba pensando al revés, arreglando los valores propios para describir el tipo de partícula (como en la clasificación de Wigner , entrada de wikipedia ) y viendo si eso produce las ecuaciones de campo correctas.

Respuestas (2)

Lo que observa es el fenómeno general de que en las teorías relativistas la traducción del tiempo se reemplaza por "traducción de parámetros afines" o "simetría de traducción de línea de palabra" y, por lo tanto, el hamiltoniano correspondiente se convierte en una restricción, la restricción que los estados deben ser invariantes bajo esta simetría.

Sí, esto también funciona para la partícula giratoria relativista y la ecuación de Dirac. Aquí, la simetría de traducción en la línea del mundo se refina a la supersimetría de traducción (incluso para los espinores ordinarios, esto no tiene nada que ver a priori con la supersimetría del espacio-tiempo). El extraño generador de la supersimetría de línea de mundo resulta ser el operador de Dirac. Nuevamente, se requiere que los estados sean aniquilados por él y esto da la ecuación de Dirac.

Un montón de punteros a los detalles sobre cómo funciona esto están aquí:

http://ncatlab.org/nlab/show/spinning+partícula

Su ejemplo muestra que puede usar la simetría para obtener un hamiltoniano (que debería ser invariante) y para la clasificación de sus soluciones: es conveniente elegir funciones de onda de manera que formen la base de representaciones irreducibles del grupo de simetría.

Para obtener los números que necesitas para resolver las ecuaciones, su simetría no es suficiente. La simetría puede decirle solo qué estados deben tener la misma energía.

¿Se pueden utilizar generadores de simetría para la cuantificación?
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