¿Motivación para introducir las álgebras de von Neumann además de las álgebras C∗C∗C^*?

Los observables son elementos autoadjuntos de un C ∗ álgebra. Como tal, esta estructura parece suficiente para describir la física.

Un teorema de Gelfand y Naimark dice que un C ∗ el álgebra siempre se puede representar fielmente como una subálgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert, B ( H ) . Luego se pueden introducir diferentes topologías, y un álgebra de von Neumann puede verse como un C ∗ subálgebra de B ( H ) que además está cerrado en una de esas topologías.

En otra pregunta del intercambio de pila de física ¿Por qué son importantes las álgebras de von Neumann en la física cuántica? alguien también habla sobre el cálculo funcional de Borel, y uno también compara el álgebra de von Neumann con la teoría de la medida "no conmutativa" versus "no conmutativa" para C ∗ álgebras.

Mi pregunta es, ¿la introducción del álgebra de von Neumann es solo algo técnico o tiene consecuencias físicas?

Sólo una visión personal. En asuntos de relevancia para la física, uno generalmente se preocupa por estudiar un observable particular (como el momento, la energía, etc.) o, como máximo, un álgebra finita de observables (como el álgebra de espín). Personalmente, no he visto ninguna pregunta de física cuya respuesta se encuentre estudiando el conjunto de todos los operadores a la vez. Para un físico, la afirmación "un observable debe ser hermitiano" es más útil que la afirmación "conjunto de todos los operadores del álgebra de Von Neumann (o lo que sea)".
Tal vez una pregunta más específica es si las diferentes topologías en el operador acotado tienen alguna relevancia física. De hecho, no es exactamente una cuestión física sino más bien conceptual. El enfoque no está en el conjunto de todos los operadores, sino en la estructura que tiene sobre él, y luego, qué está bien definido o no con esa estructura. Piense en el álgebra que consiste en una posición del operador y un momento que satisfacen la relación de conmutación habitual, ¡no se puede definir una norma sobre esto! O incluso en una lección de mecánica cuántica más básica, ¿por qué necesitamos considerar el espacio de Hilbert y no pre-hilbert: permite escribir inf
sumas initas. a veces estos detalles aparentemente insignificantes son esenciales.
Siento que no terminé de expresar mi idea sobre el operador de posición y momento. Uno puede realizar el álgebra generada por él en un espacio de Hilbert de dimensión infinita, donde son operadores ilimitados, pero no en ningún espacio de dimensión finita. La elección de L 2 el espacio me había molestado desde mi primer encuentro con la mecánica cuántica y aquí estaba la razón
Una razón por la que podría pensar es esta: los valores esperados en la mecánica cuántica son de la forma, ⟨ X | A y ⟩ , entonces si tenemos un conjunto de observables { A norte } convergiendo a algún otro observable A entonces esperamos que la expectativa también converja. Esta es mi motivación para la topología de operador débil. Por lo tanto, esperamos que el álgebra de observables se cierre bajo una topología débil. Estas son las álgebras de Von Neumann.
Quizá otra razón sea la conexión entre la conjetura de incrustación de Connes sobre yo yo 1 factores y el problema de Tsirelson sobre funciones de correlación cuántica de sistemas bipartitos.

Respuestas (3)

Tuve la misma pregunta, al estudiar el tema. Déjame decirte, lo que me dijeron, se relaciona con el cálculo funcional:

Recuerde que en mecánica cuántica, tal como la aprendemos habitualmente, una medida es una medida proyectiva, es decir, los resultados de un observable medido son valores propios del observable y "actualizamos" el estado de acuerdo con el conocimiento obtenido (es decir, lo proyectamos en el espacio de Hilbert). Por supuesto, podemos usar todo el formalismo de los POVM si lo sabe, pero aún así, las medidas proyectivas siguen siendo casos especiales importantes. Por esta razón, en realidad no necesitamos nuestros observables hermitianos, pero necesitamos el cálculo espectral y el teorema espectral. Desea que todas las proyecciones espectrales de un observable pertenezcan a su espacio, ya que si mide el observable, sus resultados se actualizarán de acuerdo con las proyecciones propias. Y aquí está el problema: las C*-álgebras generalmente no contienen todas sus proyecciones, lo hacen las álgebras de von Neumann. Entonces, la "consecuencia física" es que en realidad tienes todas tus cantidades medibles dentro del álgebra de operadores que llamas "observables". Creo que es tan físico como parece. Dado que las álgebras de von Neumann siempre pueden verse como cierres de C*-álgebras en alguna topología, no esperaría que haya razones mucho más profundas, aunque me encantaría conocerlas yo mismo, si las hay.

Otras razones que me mencionan se refieren a la estructura de las álgebras de von Neumann (y su entramado de proyecciones) y cómo esto entra en diferentes escenarios en la física, pero en este caso diría que la razón para estudiar las álgebras de von Neumann es más técnica que física. .

Finalmente, permítanme señalar que no está claro a priori por qué deberíamos estudiar C*-álgebras en absoluto; quiero decir, las únicas cantidades físicas son los operadores hermitianos, pero genéricamente, nuestras álgebras contendrán muchos elementos no hermitianos. Desde mi punto de vista, esto significa que no hay razón para estudiar álgebras C* o álgebras de von Neumann, pero en realidad habría que estudiar álgebras de Jordan (el conjunto de elementos hermitianos de los operadores acotados en algunas formas espaciales de Hilbert, como un álgebra de Jordan , o más precisamente, un álgebra de operadores de Jordan ). Sin embargo, dado que estas álgebras son no asociativas (lo cual es un inconveniente) y casi siempre pueden integrarse en algún álgebra asociativa, estudiamos las álgebras asociativas. Entonces, en cierto sentido, estudiar C*-álgebras ya es "una cosa técnica".

Gracias. He oído hablar del hecho de que los proyectores dados por el teorema espectral no están necesariamente en el álgebra C*, pero no revisé los detalles seriamente. También hice exactamente la misma pregunta en matemáticas y pensé en otra idea . Debe haber una razón
Bueno, sí, hay una razón por la que la gente considera las álgebras C* (o álgebras de von Neumann) en lugar de las álgebras de Jordan. La razón es que cada álgebra de Jordan del tipo relevante para la mecánica cuántica puede integrarse en un álgebra de C* o de von Neumann (con una excepción, las matrices hermitianas de 3x3 sobre los octoniones). Dado que las álgebras no asociativas son realmente inconvenientes, esto significa que también podemos trabajar con la envolvente asociativa.
Hay (al menos) dos libros (de los cuales solo leí el prefacio o la introducción...) que detallan qué estructuras adicionales se requieren para construir un C*-álgebra a partir del conjunto convexo de estado y también el enlace Jordan vs. C *-álgebras: " Geometría de espacios de estado de álgebras de operadores " y " Espacios de estados de álgebras de operadores " por Erik M. Alfsen y Frederic W. Shultz

Lista (a completar con más referencias y/o ítems, detalles de la relación con la física)

  • existe una noción de representación de energía positiva (cf. axioma de Haag-Kastler, condición de "Espectro" o "estabilidad") en la que se pueden elegir generadores de traslaciones en el álgebra de von Neumann asociadas a la representación de los observables, pero no necesariamente en la propia C*-álgebra. cf notas de esta lección , sección II.4, Teorema de Borchers-Arveson p.37.
  • El álgebra cuasi-local (marco de Haag-Kastler) se define como el límite inductivo, de una red de álgebras locales (posiblemente von Neumann), en la categoría de C -álgebras*. Haag insiste en esto en "Local Quantum Physics", p.132 en el primer párrafo, p.142 en el párrafo de comentarios. (También mencionado en la página 12 "quasi-local vs. global", Introducción a la teoría algebraica cuántica de campos, SS Horuzhy) El álgebra cuasi-local es a su vez importante para la teoría de los sectores de superselección que se pueden definir como una clase de equivalencia (con cuasi-equivalencia de representaciones) de representaciones primarias (=factor) (=folium mínimo) del álgebra cuasi-local (los sectores de superselección no se pueden definir a partir de representaciones de las álgebras locales solamente).

(Existen límites inductivos en la categoría de álgebras de von Neumann, Proposición 7.I p.49, "Sur la catégorie des algèbres de von Neumann", Alain Guichardet)

  • Hay una forma de tener en cuenta a los operadores ilimitados que va bajo el nombre de operador afiliado , esto ya está presente en el primer punto. La idea es que el teorema espectral se cumple en el marco de las álgebras de von Neumann (las proyecciones de la resolución de la identidad no están en el álgebra C* en general), por lo que si uno tiene un operador autoadjunto ilimitado, uno puede definir aproximaciones. (ref? Recordé esto mientras volvía a leer esta respuesta )

Puntos a verificar/desarrollar/aclarar (los diferentes puntos probablemente estén relacionados):

  • hay diferentes representaciones fieles de un álgebra C* incluso hasta cuasi-equivalencia, pero solo una para un álgebra de von Neumann. O en el mismo sentido, hay una clasificación de todas las álgebras de von Neumann y no de representaciones de C*-álgebras.
  • para el álgebra B ( H ) , se puede asociar una proyección a cada estado vectorial, es decir, un observable que pregunta si un estado arbitrario tiene una superposición con este estado particular o no. Me pregunto si una declaración de la forma "a todo estado puro se asocia una proyección observable" es verdadera para todas las C*-álgebras o si podría haber una distinción para C* / W*-álgebras. Más generalmente a un estado de matriz de densidad, ¿el operador de matriz de densidad está en el álgebra? y ¿existe una distinción entre la situación de C*- y la de W*-álgebras?
  • Otro punto sobre las proyecciones: el conjunto de proyecciones de un von Neumann es una red y genera el álgebra, que no es el caso en general para un álgebra C * (cf. sin embargo , esta pregunta ) y recientemente aprendí que esto es un estructura esencial en la lógica cuántica .

Una razón por la que podría pensar es esta: los valores esperados en la mecánica cuántica son de la forma, ⟨ X | A y ⟩ . Buscamos una noción de convergencia en observables.

Si tenemos un conjunto de observables { A norte } convergiendo a algún otro observable A lo que esperamos es que el valor esperado del observable converja. Esta es mi motivación para la topología de operador débil. Por lo tanto, esperamos que el álgebra de observables se cierre bajo una topología débil. Estas son las álgebras de Von Neumann. [Página 113 del libro de Haag]

Es un buen argumento. Solo agregaría como comentario " identidad de polarización " a los mapas bilineales relacionados ( X , y ) ↦ ⟨ X | A | y ⟩ a formas cuadráticas X ↦ ⟨ X | A | X ⟩ . Me doy más tiempo para pensar en la pregunta, ya que en realidad no sé qué respuesta espero.
Me gusta más la topología ultradébil que la topología débil. Hace una relación más directa con la física. He oído que son los mismos en algunos casos.
¿Motivación para introducir las álgebras de von Neumann además de las álgebras C∗C∗C^*?
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