Consultas sobre grupos rotacionales SO(3)SO(3)\mathrm{SO}(3) y SU(2)SU(2)\mathrm{SU}(2) en QM

Al clasificar las representaciones de un grupo en QM, es necesario tener en cuenta las representaciones proyectivas , porque los estados son en realidad rayos (clases de equivalencia) en el espacio de Hilbert. Esto significa que para estudiar la simetría rotacional de un sistema, necesita las representaciones proyectivas de$\mathrm{SO}(3)$, que son representaciones estándar de$\mathrm{SU}(2)$, porque este último es la cobertura universal del primero. Esta es la razón$\mathrm{SU}(2)$es importante en QM.

Las respuestas ya presentes han cubierto la diferencia entre$\mathrm{O}(3)$y$\mathrm{SO}(3)$en detalle, así que no lo repetiré. Permítanme, en cambio, explicar el punto sobre el "uso" de$\mathrm{SO}(3)$vs. el "uso" de$\mathrm{SU}(2)$, que creo que aún no se ha aclarado:

1. $\mathrm{SU}(2)$es una doble cubierta de$\mathrm{SO}(3)$, lo que significa que hay un homomorfismo de grupo de dos a uno$\mathrm{SU}(2)\overset{2:1}{\to}\mathrm{SO}(3)$, o equivalente,$\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SU}(2)/\mathbb{Z}_2$. También está simplemente conectado, lo que significa que es la cubierta universal . Las álgebras de Lie de ambos grupos de Lie son las mismas, es decir$\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$. Una representación de un álgebra de Lie siempre induce una representación lineal del grupo de Lie simplemente conexo asociado a ella, pero no siempre induce una representación de los otros grupos. Más específicamente, la representación spin-1/2 es una representación lineal de$\mathfrak{so}(3)$, pero no de$\mathrm{SO}(3)$, solo de$\mathrm{SU}(2)$.

2. La representación spin-1/2 es, sin embargo, la llamada representación proyectiva de$\mathrm{SO}(3)$. La mecánica cuántica en realidad no requiere representaciones lineales ordinarias de grupos de simetría, sino proyectivas. Por la razón general, este es el caso, vea estas preguntas y respuestas mías . En este caso, resulta que las representaciones proyectivas de$\mathrm{SO}(3)$son equivalentes a las representaciones lineales de$\mathfrak{so}(3)$, o representaciones lineales equivalentes de$\mathrm{SU}(2)$. Esta es la razón$\mathrm{SU}(2)$aparece en la mecánica cuántica, pero no en la mecánica clásica, al representar el grupo de simetría de las rotaciones sobre nuestro espacio de estados.

3. La representación de spin-1/2 viene dada por la representación "estándar" de$\mathrm{SU}(2)$, es decir, sólo por las matrices unitarias especiales de 2 por 2. Pero sigue siendo también una representación de$\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$y una representación proyectiva de$\mathrm{SO}(3)$. La representación de spin-1 viene dada por la representación "estándar" de$\mathrm{SO}(3)$como matrices ortogonales especiales de 3 por 3, pero también es una representación de$\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$y una representación de$\mathrm{SU}(2)$a través del mapa 2 a 1.

cómo distinguiría entre operadores rotacionales y operadores inversos, ¿sería una definición suficiente que los operadores rotacionales son una transformación con un punto fijo?

Uno puede definir una rotación como una operación que mapea un vector arbitrario$\vec v$a$\vec v'$a través de una secuencia infinita de operaciones infinitesimales que deja invariante la longitud del vector.

Para ejemplificar, consideremos rotaciones en el plano. De la siguiente figura vemos que la única operación infinitesimal que podemos hacer en$\vec v$que deja invariable su longitud es

Decimos que una matriz$M$representa una rotación si y solo si se puede escribir en la forma anterior. Tenga en cuenta que una matriz como

Puede verificar fácilmente que las matrices de rotación son ortogonales (O),$RR^T=I$, y especial (S),$\det R=1$. ellos forman el grupo$SO(2)$(o$SO(3)$en tres dimensiones). Las matrices de reflexión tienen determinante$-1$pero también son ortogonales. Junto con las matrices de rotación forman el grupo$O(2)$(o$O(3)$en tres dimensiones).

¿Tengo razón al suponer que el$\mathrm{SO}(3)$El grupo de rotación no tiene mucha aplicación en la mecánica cuántica, pero se usa más en la mecánica clásica, mientras que$\mathrm{SU}(2)$se utiliza más en la mecánica cuántica, en particular para$s =\frac{1}{2}$sistemas de espín donde trabajamos en un espacio de Hilbert bidimensional?

En tres dimensiones, las rotaciones infinitesimales son generadas por tres generadores,$T_1,T_2,T_3$que juegan el papel de$T$arriba. Satisfacen las relaciones de conmutación

como se sigue que hay cuatro parámetros independientes para la matriz unitaria general, a mi modo de ver hay tres parámetros independientes, a saber,$a$,$b$y$\gamma$?

Como ya se mencionó en el comentario de jc315, los seis parámetros reales están sujetos a dos restricciones, lo que deja cuatro parámetros reales independientes.

1. Uno u otro está en el grupo, por lo que realmente no importa cuál tomar como el inverso del otro. Tenga en cuenta que$SU(2)$tiene$3$(no$4$) parámetros independientes.$U(2)$tiene una fase global relacionada con el determinante de sus elementos, además de la$3$parámetros en$SU(2)$.
2. $SO(3)$probablemente tiene más aplicaciones que$SU(2)$ya que todo momento angular orbital es$SO(3)$y no$SU(2)$. En cualquier problema con un potencial central, etiquetarás los estados por$SO(3)$no$SU(2)$irresponsables Las funciones de onda para rotores rígidos (utilizados para describir una variedad de tops y moléculas lineales) son$SO(3)$funciones de grupo.
3. Los parámetros son complejos. Si empiezas con el$8$números complejos $$U=\left(\begin{array}{cc} A&B\\ C&D\end{array}\right)\, ,\qquad A,B,C,D\in\mathbb{C}\, ,$$ entonces las condiciones de unitaridad$U^\dagger U=\hat 1$efectivo$4$condiciones a favor de la ortogonalidad de filas y columnas. Si hace cumplir la condición det$=+1$esa es una quinta condición para$8$parámetros-$5$restricciones =$3$parámetros "libres".
   Un general$n\times n$matriz unitaria contendrá$n^2$parámetros complejos, o$2n^2$parámetros reales. Hay$n^2$condiciones en las filas y columnas que salen$n^2$parámetros reales independientes, de los que restas otro si quieres que el determinante sea +1.

$\mathrm{SO}(3)$es el grupo de todos$3 \times 3$matrices reales con determinante$1$. Esta es la definición de una rotación adecuada.$\mathrm{SO}(3)$es un grupo en el sentido matemático formal, por lo que

El$\mathrm{O}$en$\mathrm{SO}(3)$significa 'ortogonal', lo que significa que

y el$\mathrm{S}$estándar para 'especial', que limita esto solo a determinantes positivos. No sé de dónde sacaste la idea de que los inversos solo existen en$\mathrm{O}(3)$(todas las matrices ortogonales con determinante positivo o negativo), pero no es cierto. los elementos de$\mathrm{O}(3)$no en$\mathrm{SO}(3)$(es decir, elementos de$\mathrm{O}(3) \backslash \mathrm{SO}(3)$) son las matrices con determinante estrictamente negativo, y se denominan rotaciones impropias. Invierten los ejes de coordenadas además de girar, que puede ser donde surgió la confusión. (Para ser claro: rotación adecuada$\iff\mathrm{det}(M) = 1$, rotación incorrecta$\iff\mathrm{det}(M) = -1$.)

$\mathrm{SU}(2)$es el grupo de todos$2 \times 2$matrices complejas con determinante$1$. El$\mathrm{U}$significa unitario, que es la versión compleja de ortogonal:

donde la daga es el conjugado hermitiano, pero todo lo demás es igual (aparte de que las entradas son complejas). Hay cuatro parámetros reales libres porque hay seis parámetros reales (no libres) y dos condiciones,$6-2=4$. En concreto, estas son las fases complejas de$a$y$b$(dos números reales), la magnitud relativa de$a$y$b$, y el valor de$\gamma$, que es un solo parámetro real libre (o dos reales y una condición compleja que asegura que es real).

Lo importante de estos dos grupos es que$\mathrm{SU}(2)$es una doble cubierta de$\mathrm{SO}(3)$. Esta es la razón por la que necesita cuatro parámetros para especificar una rotación en el espacio 3D, en lugar de solo tres. La esfera de Bloch en la mecánica cuántica es una manifestación de esta relación. La doble cubierta es la razón por la que el ángulo se reduce a la mitad cuando se va a la representación de Bloch de un qubit.

En primer lugar, la S significa "especial", lo que significa que las matrices tienen determinante=1. Matrices ortogonales que satisfacen$O^T O=I$con determinante -1 son rotaciones combinadas con transformaciones de paridad- reflejo en un espejo. para rotaciones$O^T$es por supuesto la matriz inversa de$O$; pero las transformaciones de paridad a veces se denominan "inversión".

Ambos grupos se utilizan en mecánica cuántica para describir las propiedades bajo rotación de diferentes sistemas físicos, dependiendo de su momento angular.$SU(2)$describe spin-1/2 partículas-fermiones, como el electrón.$SO(3)$describe sistemas de espín-1, como el orbital p de un átomo de hidrógeno o la polarización de un bosón vectorial masivo.