Estados coherentes del oscilador armónico cuántico

Una buena manera de pensar en$\lambda$es considerar el estado coherente como un estado fundamental de un oscilador armónico desplazado . Escribiendo$\lambda=\lambda_r+i\lambda_i$con$\lambda_{r,i}$las partes real e imaginaria de$\lambda$respectivamente,

$$\langle\lambda \vert \hat x\vert \lambda \rangle=\sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}}\lambda_r\, ,\qquad \langle\lambda \vert \hat p\vert \lambda \rangle=\sqrt{ 2m\hbar\omega}\lambda_i\, .$$ Claramente los posibles desplazamientos en el $(x,p)$plano son ilimitados por lo que no hay restricción sobre los posibles valores de $\lambda_r$y $\lambda_i$.

Dado que el estado fundamental del oscilador armónico tiene una forma gaussiana, la densidad de probabilidad en$x$se concentra no en el origen sino en$\lambda_r$, y la probabilidad en$p$se concentra sobre$\lambda_i$. Esto se hace evidente al observar la función de Wigner de un estado coherente . Por lo tanto, el truncamiento de la base de los estados del oscilador armónico$\{\vert n\rangle\}$generalmente se realiza en terrenos físicos después de un valor de$n$lo suficientemente grande como para capturar "la mayor parte" de la densidad de probabilidad.

Tenga en cuenta que el estado coherente no es un estado propio del oscilador armónico hamiltoniano, por lo que su densidad de probabilidad dependerá del tiempo.

1. Con los coeficientes de base numérica como los ha definido (correctamente),$|\lambda⟩$es un estado propio de$a$para todos los valores complejos$\lambda\in\mathbb C$. Esto puede sonar extraño, pero recuerde que el operador de aniquilación no es autoadjunto y no es normal , por lo que las propiedades espectrales pueden provenir de un conjunto de posibilidades mucho más amplio que, digamos, un operador autoadjunto compacto.

2. En el$N$representación, el operador de aniquilación toma la forma de la matriz infinita que das. Si lo trunca, obtiene un objeto interesante y relacionado, pero ya no es el mismo objeto.

   En particular, el truncamiento a$N$fotones o menos convierte la aniquilación en un solo bloque de Jordan con valor propio$\lambda=0$; esto significa entonces que no habrá otros valores propios presentes. Este comportamiento es perfectamente normal y se debe enteramente al truncamiento de la base.

Complemento desvergonzado: mi tesis de pregrado tiene una exploración más profunda de estos temas - si puedes leer física en español ;-).