Dejarα ∈ C
, y deja| norte ⟩
sea el estado del oscilador armónico con energía( norte +12) ℏω
. Ent = 0
, el estado coherente| α ( 0 ) ⟩
es definido por
| α ( 0 ) ⟩ =mi− | α|2/ 2(∑norte = 0∞αnorten !−−√| norte ⟩ )(1)
Qué es| α ( t ) ⟩
, el estado coherente en el tiempot
? Comience con (1). Desde| norte ⟩
es un estado propio del oscilador armónico hamiltonianoH^= (a^†a^+12) ℏω
con valor propio( norte +12) ℏω ,
la evolución temporal de| norte ⟩
es simple| norte ( t ) ⟩ =mi- yo ( norte +12) ωt _| norte ⟩
y por lo tanto
| α ( t ) ⟩ =mi−| α |2/ 2(∑norte = 0∞αnorten !−−√mi- yo ( norte +12) ωt _| norte ⟩ ) .
Es fácil demostrar que
| α ( t ) ⟩
está normalizado.
Ahora primero tenemos que demostrar queun | α ( t ) ⟩ = αmiyo ℏt _| α ( t ) ⟩
. Recordar quea^| norte ⟩ =norte−−√| norte - 1 ⟩ .
\ Entonces, desdea^
es lineal,
a^| α ( t ) ⟩====mi−| α |2/ 2(∑norte = 0∞αnorten !−−√mi- yo ( norte +12) ωt _a^| norte ⟩ ) ,mi−| α |2/ 2(∑norte = 0∞αnorten !−−√mi- yo ( norte +12) ωt _norte−−√| norte - 1 ⟩ ) ,mi−| α |2/ 2(∑norte = 0∞αnorte( norte - 1 ) !−−−−−−√mi- yo ( norte +12) ωt _| norte - 1 ⟩ ) ,αmi- yo ω tmi−| α |2/ 2(∑norte = 0∞αnorte - 1( norte - 1 ) !−−−−−−√mi- yo ( norte - 1 +12) ωt _| norte - 1 ⟩ ) .
La suma correctamente comienza en
norte = 1
desde el
norte = 0
término no existe. Así, estableciendo
metro = norte - 1 ,
podemos reescribir esta suma en términos de
m ,
con
metro
a partir de
m = 0.
Por eso
a^| α ( t ) ⟩==αmi- yo ω t[mi−| α |2/ 2(∑metro = 0∞αmetrom !−−√mi- yo ( metro +12) ωt _| m⟩ ) ] _αmi- yo ω t| α ( t ) ⟩ .
Un resultado secundario útil, que se sigue inmediatamente de arriba, es
[a^| α ( t ) ⟩ ]†==⟨ α ( t ) |a^†[ αmi- yo ω t| α ( t ) ⟩ ]†=α∗miyo t _⟨ α ( t ) |
Ahora⟨pag^( t ) ⟩
y⟨X^( t ) ⟩
para| α ( t ) ⟩
. A partir de las definiciones
a^=metro ω2ℏ _−−−−√(X^+imetro ωpag^) ,a^†=metro ω2ℏ _−−−−√(X^−imetro ωpag^) ,
tenemos
X^=ℏ2 metros _−−−−−√(a^†+a^) ,pag^= yometro ω ℏ2−−−−−√(a^†−a^) ,
y por lo tanto
⟨ x ( t ) ⟩===ℏ2 metros _−−−−−√[ ⟨ α ( t ) |a^†| α ( t ) ⟩ + ⟨ α ( t ) |a^| α ( t ) ⟩ ],ℏ2 metros _−−−−−√[α∗miyo t _+ ami- yo ω t] ⟨ α ( t )| α ( t ) ⟩ℏ2 metros _−−−−−√[α∗miyo t _+ ami- yo ω t] ,
que es real, como era de esperar. Podemos limpiar esto escribiendo
α = | α |miyo θ
para obtener%
⟨ x ( t ) ⟩ =2ℏ _metro ω−−−−√| α | porque( ω t - θ )(2)
Asimismo,
⟨ p ( t ) ⟩===imetro ω ℏ2−−−−−√[ ⟨ α ( t ) |a^†| α ( t ) ⟩ − ⟨ α ( t ) |a^| α ( t ) ⟩ ]imetro ω ℏ2−−−−−√[α∗miyo t _− ami- yo ω t] ⟨ α ( t )| α ( t ) ⟩−2 metro ω ℏ−−−−−√| α | pecado( ω t - θ )(3)
que vuelve a ser real.
En su caso específico, está comenzando con un estado coherente para el cual, ent = 0
, tenemos
⟨ x ( 0 ) ⟩ = segundo2–√X0,⟨ pags ( 0 ) ⟩ = 0
entonces esto implica de (2) y (3) evaluados en
t = 0
eso
b2–√X0=2ℏ _metro ω−−−−√| α | porque( θ ),0 =2 metro ω ℏ−−−−−√| α | pecado( θ )
Comparando con sus condiciones iniciales da
θ = 0
y
b2–√X0=2ℏ _metro ω−−−√α
con
α
real.
Finalmente,X^2
ypag^2.
DeX^
ypag^,
encontramos
X^2pag^2====ℏ2 metros _(a^†+a^)2=ℏ2 metros _((a^†)2+a^†a^+a^a^†+(a^)2) ,ℏ2 metros _((a^†)2+ 2a^†a^+ 1 +(a^)2) ,−metro ω ℏ2(a^−a^†)2= −metro ω ℏ2((a^†)2−a^†a^−a^a^†+(a^)2) ,−metro ω ℏ2((a^†)2− 2a^†a^− 1 +(a^)2) ,
dónde
a^a^†=a^a^†−a^†a^+a^†a^= [a^,a^†] +a^†a^= 1 +a^†a^
ha sido usado. De este modo,
⟨X2( t ) ⟩⟨pag2( t ) ⟩=========ℏ2 metros _[ ⟨ α ( t ) |(a^†)2| α ( t ) ⟩ +2 ⟨ α ( t ) |a^†a^| α ( t ) ⟩+ 1 + ⟨ α ( t ) |a^2| α ( t ) ⟩ ] ,ℏ2 metros _[(α∗miyo t _)2+ 2α∗α + 1 +( αmi- yo ω t)2],ℏ2 metros _[(α∗miyo t _+ ami- yo ω t)2+ 1 ] ,ℏ2 metros _[ 4| α |2porque2( ω t - θ ) + 1 ] .−metro ω ℏ2[ ⟨ α ( t ) |(a^†)2| α ( t ) ⟩ −2 ⟨ α ( t ) |a^†a^| α ( t ) ⟩− 1 + ⟨ α ( t ) |a^2| α ( t ) ⟩ ] ,−metro ω ℏ2[(α∗miyo t _)2− 2α∗α − 1 +( αmi- yo ω t)2],−metro ω ℏ2[(α∗miyo t _− ami- yo ω t)2− 1 ] ,−metro ω ℏ2[ - 4| α |2pecado2( ω t - θ ) - 1 ],metro ω ℏ2[ 4| α |2pecado2( ω t - θ ) + 1 ] .
Fabian
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