Intuición detrás de Hamiltonian

Estoy leyendo este artículo de Das et al. que convierte el algoritmo de Deutsch en un algoritmo cuántico adiabático. No entiendo la intuición detrás de los hamiltonianos inicial y final.

If define el vector de estado inicial como:

| Ψ 0 ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ )

y el vector de estado final como:

| Ψ 1 ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩

dónde,

α = 1 2 | ( − 1 ) F ( 0 ) + ( − 1 ) F ( 1 ) | β = 1 2 | ( − 1 ) F ( 0 ) − ( − 1 ) F ( 1 ) | α + β = 1 α 2 = α β 2 = β α β = 0

Las definiciones de vectores tienen sentido para mí. El inicial es solo un estado fácil de hacer y el final codifica la condición para el resultado del algoritmo.

Aquí está la parte confusa, es decir, las definiciones de los hamiltonianos:

H 0 = I − | Ψ 0 ⟩ ⟨ Ψ 0 | H 1 = I − | Ψ 1 ⟩ ⟨ Ψ 1 |

¿Por qué el autor resta el producto de los vectores de la matriz identidad para crear el hamiltoniano? ¿Cuál es el significado físico de esta resta? ¿Por qué de la matriz de identidad?

Respuestas (1)

Observe que queremos que el sistema permanezca en el estado propio más bajo del hamiltoniano. Ambos hamiltonianos son bidimensionales y sus estados propios abarcan un espacio de Hilbert bidimensional. Los hamiltonianos contienen un proyector para | Ψ 0 ⟩ ( | Ψ 1 ⟩ ). Definir | Ψ 0 O ⟩ ( | Ψ 1 O ⟩ ) como normalizado y ortogonal a | Ψ 0 ⟩ ( | Ψ 1 ⟩ ). La identidad puede escribirse entonces como

I = | Ψ 0 O ⟩ ⟨ Ψ 0 O | + | Ψ 0 ⟩ ⟨ Ψ 0 | = | Ψ 1 O ⟩ ⟨ Ψ 1 O | + | Ψ 1 ⟩ ⟨ Ψ 1 |
. Inserte eso en la definición del hamiltoniano y verá que | Ψ 0 ⟩ ( | Ψ 1 ⟩ ) son estados propios del primer (último) hamiltoniano con valor propio 0, y sus vectores ortogonales son estados propios con valor propio 1. Han logrado que los estados que querían fueran los estados propios más bajos de sus hamiltonianos.

En otras palabras, los hamiltonianos son solo proyectores de estados que son ortogonales a los que queremos que sean los autoestados de menor energía, lo que hace que los estados ortogonales tengan un valor propio de 1 y los estados propios de menor energía tengan un valor propio de 0.

Gracias por la respuesta detallada. Entonces, la forma estándar de crear un hamiltoniano, H , que tiene un estado, | Ψ ⟩ , ya que el estado propio más bajo es el siguiente:
H = I − | Ψ ⟩ ⟨ Ψ |
. ¿Tengo razón?
No sé cuál es la forma "estándar", pero en 2D es una forma bastante sencilla. En dimensiones superiores, todos los demás estados tendrán valor propio 1 y el hamiltoniano será degenerado. Si esto es un problema o no depende de lo que quieras hacer.
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