Estado de momento de una partícula

Comencemos desde cero. Tome los vectores propios de las posiciones,$\left|x\right>$. son tales que$X\left|x\right> = x\left|x\right>$. Ahora, tome un ket general para una función de onda,$\left|\psi\right>$. si queremos saber$\psi(x)$, es decir, la función de onda en la representación de posición, entonces tomamos el siguiente producto escalar:$\left<x\right|\left|\psi\right> = \psi(x)$. De hecho, esto es cierto ya que la representación de la posición de$\left|x\right>$es$\delta(x)$(Puedo mostrar esto si es necesario). De esto también se sigue que$\int\left|x\right>\left<x\right|dx = I$donde I es la identidad (llamada relación de completitud).

Entonces, volvamos a la pregunta. Análogamente, tenemos que$\psi(p) = \left<p\right|\left|\psi\right> =\int \left<p\right|\left|x\right>\left<x\right|\left|\psi\right>dx$usando la relación de completitud. Todo lo que tenemos que hacer ahora es determinar$\left<p\right|\left|x\right>$. Esto se hace mediante la definición de la ecuación de$\left|p\right>$que simplemente es$P\left|p\right> = p\left|p\right>$.

Tomando el producto escalar con$\left<x\right|$y utilizando la representación posicional de$P = -i\hbar\nabla$obtenemos la siguiente ecuación:

Dónde$p(x) = \left<x\right|\left|p\right>$

Resolviendo esta ecuación encuentras$p(x) = Ae^{ip/\hbar x}$

Finalmente, usando las propiedades de hermiticidad del producto escalar y reemplazando nuestra integral inicial, obtenemos:

El constante$A$se toma como$\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$arbitrariamente para obtener la forma habitual de la transformada de Fourier. Esto se debe a que, dado que la representación de la posición del$p$los vectores propios no se pueden normalizar, esta constante$A$es arbitrario

En general, una transformada de Fourier toma funciones en un grupo$G$, o un espacio$X$en la que$G$actos, y los descompone en términos de caracteres del grupo, tales como$\chi : G \to S^1$, y los coeficientes de la descomposición están codificados en la función transformada en el dual de Pontryagin$\hat G$de$G$.

Ahora para el espacio euclidiano,$\mathbb R^n$, podemos identificar el Pontryagin dual$\hat{ \mathbb{R}}^n$consigo mismo En particular, es un grupo localmente compacto con$\mathbb R^n$, identificando$\xi \in \mathbb R^n$como la frecuencia, para la cual$x \to \xi \cdot x.$El Pontryagin dual en general es el grupo de todos los caracteres de$G$.

En general, la transformada de Fourier para$f \in L^1(G)$es dado por,

dónde$d\mu$es la medida de Haar. Especializándonos ahora al caso antes mencionado, se tiene,

Si interpretamos el dominio de$f$como tiempo, entonces el dominio correspondiente de la transformada está en el espacio de frecuencias. Para la posición, se tiene espacio de impulso. que podemos tomar$\psi(x)$a$\hat \psi(p)$no es exclusivo de la función de onda, pero se puede realizar en cualquier función adecuada.

Otra comprobación: en la exponencial se tiene$e^{-i\omega t}$y así se puede deducir$\omega$tiene dimensiones de frecuencia para que el argumento sea adimensional. Ahora, para la posición, obtendrías algo como$[L]^{-1}$que en realidad es el vector de onda$k$, pero$p = \hbar k$y así podemos expresar la transformada de Fourier en términos del vector de onda o del momento.

También trabajamos normalmente en unidades naturales en las que$\hbar = 1$y entonces usamos cualquiera indistintamente.

Primero, necesitamos algunas definiciones de los conceptos que trataremos: las representaciones de posición y momento. Los operadores de posición y momento satisfacen la relación de conmutación:

Una representación de esta álgebra sobre el espacio de Hilbert$L^2\left(\mathbb{R}\right)$, la representación de la posición, viene dada por$(Xf)(x)=x\,f(x)$y$Pf=-i\hbar f'$. La representación del impulso es similar, simplemente intercambiando$X$y$P$(y cambiando de signo), para obtener$(Pf)(p)=p\,f(p)$y$Xf=i\hbar f'$.

¿Por qué usamos estas definiciones? Bueno, tiene sentido llamar representación de posición a aquella en la que el operador de posición actúa como multiplicación por el argumento de la función, porque entonces ese argumento se interpreta como posición. Lo mismo sucede con la representación del momento. En ese caso, el argumento de las funciones se puede interpretar como el momento, como$P$actúa como una multiplicación por él.

Ahora podemos abordar la pregunta. La afirmación es que la transformada de Fourier lleva funciones en la representación de posición a la representación de momento. Para demostrarlo, deja$f$ser una función en la representación de posición y observar que