Reconstrucción de las fases de la "función de onda" a partir de |ψ(x)||ψ(x)||\psi(x)| y |ψ~(p)||ψ~(p)||\tilde \psi(p)|

No. Considere cualquier estado con una función de onda de impulso simétrica alrededor de cero. Sus distribuciones de probabilidad cuadrática normal de posición-espacio y momento-espacio no cambian con la inversión del tiempo, aunque la función de onda claramente sí lo hace.

Aquí hay un ejemplo explícito. Tome los cuatro paquetes de ondas gaussianas de posiciones medias$x_0$o$-x_0$, momentos medios$p_0$o$-p_0$y dispersión espacial$\sigma$:

$\psi_{(\pm_x , \pm_p)} (x) \propto e^{-(x \mp_x x_0))^2/4\sigma^2 - i x (\pm_p p_0) }$.

(Aquí,$\pm_x$y$\pm_p$son dos variables binarias que toman los valores de más o menos.$\mp_x$y$\mp_p$son sus opuestos.) Ahora considere las dos superposiciones

$\phi_{\mathrm{away}} = \psi_{(+,+)} + \psi_{(-,-)}$,

$\phi_{\mathrm{toward}} = \psi_{(+,-)} + \psi_{(-,+)}$.

$\phi_{\mathrm{away}}$es la superposición de dos paquetes de ondas separados por$2 x_0$viajando alejándose uno del otro con velocidad relativa$2 p_0/m$.$\phi_{\mathrm{toward}}$es lo mismo con los paquetes que viajan uno hacia el otro. Uno puede comprobar que$\vert \phi_{\mathrm{toward}} (x)\vert^2 = \vert \phi_{\mathrm{away}} (x) \vert^2$y$\vert \tilde{\phi}_{\mathrm{toward}} (p) \vert^2 = \vert\tilde{\phi}_{\mathrm{away}} (p) \vert^2$.

No sé si hay otros ejemplos que no sean con inversión de tiempo.

Una razón dimensional intuitiva por la que no podría funcionar: un vector de estado en$\mathbb C^{N+1}$se describe mediante 2N coordenadas reales (una dimensión compleja es irrelevante), al igual que su transformada de Fourier. Si solo consideramos los módulos cuadrados normalizados de los componentes, también tenemos 2N números reales, por lo que si estos fueran realmente independientes, deberíamos poder reconstruir el vector original.

Sin embargo, no son independientes: la dependencia más famosa entre el módulo al cuadrado de una función y el de su transformada de Fourier es la relación de incertidumbre de Heisenberg (de la cual existen análogos en un entorno de dimensión finita, si desea permanecer en un entorno donde la dimensión contar es sencillo).

Otro lo proporciona el teorema de Paley-Wiener, que implica que una función compatible de forma compacta tiene una transformada de Fourier que no es idénticamente cero en ningún conjunto abierto.

Los contraejemplos más pequeños ocurren en un espacio de estado bidimensional: la transformada de Fourier de$\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$es$\begin{pmatrix}a + b\\ a - b\end{pmatrix}$(hasta una constante multiplicativa), por ejemplo$\begin{pmatrix}1\\ i\end{pmatrix}$y$\begin{pmatrix}1\\ -i\end{pmatrix}$describen diferentes estados pero tienen módulos iguales y también sus transformadas de Fourier.

Comentarios a la pregunta (v1):

I) Reconstrucción de fases a partir de módulo$^1$ $|f(x)|$de una señal$f(x)$y módulo$|\tilde{f}(k)|$de su señal transformada de Fourier (FT)

es un problema de ingeniería interesante y probablemente bien estudiado, ya sea para la transformación de Fourier continua o discreta .

II) Ejemplo: una señal gaussiana

con transformada de Fourier

con módulo

y

respectivamente. Es interesante que si además se sabe que la señal es de forma gaussiana (2), entonces es posible a partir de (4) y (5) reconstruir la constante$a$hasta posiblemente una ambigüedad de signo de${\rm Im}(a)$; el constante$A$hasta una fase; y la constante$b$es único para una elección dada de$a$.

III) El ejemplo gaussiano anterior induce la esperanza de que el módulo de una señal y el módulo de su FT sean información lo suficientemente complementaria como para que la reconstrucción sea posible hasta posiblemente un número finito de soluciones autoconsistentes, y módulo una fase global general.

IV) Especulamos que, en la práctica, puede ser posible reconstruir una señal autoconsistente a partir de su módulo y el módulo de su FT a través de un algoritmo iterativo de punto fijo.$^2$: Primera transformada de Fourier el módulo desnudo de la señal; a continuación, multiplique las fases del resultado con el módulo FT dado inicialmente; luego FT inversa; luego multiplique las fases del resultado con el módulo dado inicialmente; luego FT; y así sucesivamente, hasta que se alcance una configuración de punto fijo autoconsistente a cada lado de la FT.

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$^1$En el análisis de señales, el módulo también se denomina amplitud, magnitud o valor absoluto.

$^2$Actualización: resulta que este algoritmo existe y se conoce como algoritmo de Gerchberg-Saxton (consejo: WetSavannaAnimal, también conocido como Rod Vance).

La respuesta es no. Considere dos ondas:$\psi_{1} (x,t)= \psi (x,t)e^{i\alpha t} \space$y$\space \psi_{2} (x,t)= \psi (x,t)e^{i\beta t}$. Seguramente esas ondas son diferentes, pero$|\psi_{1} (x,t)|=|\psi_{2} (x,t)|=| \psi (x,t)|$. Por lo tanto, no se puede determinar ninguna onda con todo detalle a partir de mediciones físicas.