¿Cuál es la relación entre las funciones de onda de posición y momento en la física cuántica?

Question

¿Cuál es la relación entre las funciones de onda de posición y momento en la física cuántica?

adrianos

He leído en un par de lugares que $\psi(p)$ y $\psi(q)$ son transformadas de Fourier entre sí (por ejemplo, Penrose). Pero, ¿no es una transformada de Fourier simplemente una descomposición de una función en una suma o integral de otras funciones? Mientras que las funciones de onda de posición y momento son esencialmente diferentes pero están relacionadas. Deben preservar valores esperados como la relación de la mecánica clásica, $<p>=m~\frac{d<q>}{dt}$ (dónde $<p>$ y $<q>$ ahora son valores esperados).

Por ejemplo, un paquete de ondas de impulso que tiene un valor esperado positivo constante a lo largo del tiempo implica un paquete de ondas de posición que se mueve con el tiempo en alguna dirección. Decir simplemente que existe la transformada de Fourier parece oscurecer esta importante relación.

Kostya

Estoy más o menos de acuerdo. Pero eso no es una pregunta.

Respuestas (3)

¿Cuál es la relación entre las funciones de onda de posición y momento en la física cuántica?

Motl de Luboš · Answer 1

Estimado usuario1602, sí, $\psi(x)$ y $\tilde\psi(p)$ son transformadas de Fourier entre sí. Esto responde a la única pregunta real que has hecho. Entonces, si uno conoce la función de onda exacta en función de la posición, también conoce la función de onda en función del momento, y viceversa.

En particular, no existe una "función de onda" que dependa tanto de $x$ y $p$ . De hecho, tal "función de onda" violaría un principio básico de la mecánica cuántica, el principio de incertidumbre.

La función de onda - que sólo depende de $x$ o eso solo depende de $p$ - recuerda todo lo que una partícula puede y necesita recordar sobre su posición y momento. Por ejemplo, una buena función de onda que describa una partícula localizada alrededor $x_0$ y moviéndose con impulso alrededor $p_0$ es dado por

ψ_{X_{0}, {pag}_{0}} (X) = C Exp (- k (X - X_{0})^{2} + i {pag}_{0} X / ℏ)

$\psi_{x_0,p_0}(x) = C \exp\left(-K(x-x_0)^2 + ip_0 x/\hbar\right)$ El constante

K

$K$ determina el ancho pero ve que debido al término cuadrático, la función de onda solo no se desvanece cerca

x_{0}

$x_0$ . Por otro lado, el

i p x

$ipx$ término garantiza que la partícula se está moviendo hacia la derecha con el impulso correcto. Todo está codificado en la fase cambiante de la función de onda. Cuanto más rápidamente la fase de

ψ (x)

$\psi(x)$ cambia con

x

$x$ , mayor es el momento de la partícula. Si la fase gira en sentido horario o antihorario, la partícula se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente.

La transformada de Fourier de la función de onda anterior es algo así como

{\tilde{ψ}}_{X_{0}, {pag}_{0}} (pag) = C^{'} Exp (- (pag - {pag}_{0})^{2} / k^{'} - i pag X_{0} / ℏ)

$\tilde \psi_{x_0,p_0}(p) = C' \exp\left(-(p-p_0)^2/K' - ip x_0/\hbar\right)$ Solo inténtalo. La ecuación de Schrödinger garantizará que el paquete de ondas se mueva en la dirección correcta, y con la velocidad correcta, codificada en

p_{0}

$p_0$ , y la posición del centro de masa del paquete también cambiará en consecuencia. Las constantes de normalización

C, C^{'}

$C,C'$ son físicamente irrelevantes pero pueden elegirse para normalizar los vectores de estado a la unidad. Los parametros

K, K^{'}

$K,K'$ especificando el ancho son iguales, hasta una multiplicación por una constante numérica y una potencia de

ℏ

$\hbar$ : pero es cierto que el ancho en el

x

$x$ la representación es inversa al ancho en el

p

$p$ representación. Eso también está implícito en el principio de incertidumbre.

No es cierto que se necesiten "funciones de onda" que dependan tanto de la posición como del impulso. El punto central del principio de incertidumbre es que solo puede especificar las amplitudes con respecto a una de estas cantidades; la otra no conmuta con ella. si uno elige $\psi(x)$ , el operador de posición es una multiplicación por $x$ y el impulso $p$ es simplemente el operador $-i\hbar\partial/\partial x$ . Del mismo modo, para $\tilde\psi(p)$ , el operador de cantidad de movimiento es la multiplicación por $p$ y el operador de posición $x$ es igual $+i\hbar \partial/\partial p$ . Es bastante simétrico con respecto a $x,p$ .

Creo que lo que no había entendido es que las dos funciones expresan un mismo estado en términos diferentes.
Sí, @ usuario1602, es solo una elección diferente de base para expresar el mismo vector de estado (en este caso, ambas bases son "continuas", por lo que las sumas sobre las bases se reemplazan por integrales, pero la lógica es la misma).

rafael · Answer 2

Si tienes un estado $|\psi\rangle$ , la función de onda de posición es:

⟨ \vec{X} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} \langle \vec{x}\mid \psi\rangle \end{equation}$

y la función de onda de cantidad de movimiento es:

⟨ \vec{pag} ∣ ψ ⟩ = \int d \vec{X} ⟨ \vec{pag} ∣ \vec{X} ⟩ ⟨ \vec{X} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} \langle \vec{p}\mid \psi\rangle = \int\;d\vec{x}\; \langle\vec{p}\mid\vec{x}\rangle\langle \vec{x}\mid\psi\rangle \end{equation}$

La razón por la que las dos expresiones son "diferentes pero relacionadas" es la misma por la que conservan los valores esperados. se llama relacion de completitud $\int\; d\vec{x}\;\mid\vec{x}\rangle\langle\vec{x}\mid = 1$ , $\int\; d\vec{p}\;\mid\vec{p}\rangle\langle\vec{p}\mid = 1$ :

\int d \vec{X} d {\vec{X}}^{'} ⟨ ψ ∣ \vec{X} ⟩ ⟨ \vec{X} ∣ A ∣ {\vec{X}}^{'} ⟩ ⟨ {\vec{X}}^{'} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} \int\;d\vec{x}\; d\vec{x}^{\prime} \langle \psi\mid\vec{x}\rangle\langle\vec{x}\mid A\mid\vec{x}^{\prime}\rangle\langle\vec{x}^{\prime}\mid\psi\rangle \end{equation}$

= \int d \vec{X} d {\vec{X}}^{'} d \vec{pag} d {\vec{pag}}^{'} ⟨ ψ ∣ \vec{pag} ⟩ ⟨ \vec{pag} ∣ \vec{X} ⟩ ⟨ \vec{X} ∣ A ∣ {\vec{X}}^{'} ⟩ ⟨ {\vec{X}}^{'} ∣ {\vec{pag}}^{'} ⟩ ⟨ {\vec{pag}}^{'} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} =\int\;d\vec{x}\; d\vec{x}^{\prime}\; d\vec{p}\; d\vec{p}^{\prime} \langle \psi\mid\vec{p}\rangle\langle \vec{p}\mid\vec{x}\rangle\langle\vec{x}\mid A\mid\vec{x}^{\prime}\rangle\langle \vec{x}^{\prime}\mid\vec{p}^{\prime}\rangle\langle\vec{p}^{\prime}\mid\psi\rangle \end{equation}$

= \int d \vec{pag} d {\vec{pag}}^{'} ⟨ ψ ∣ \vec{pag} ⟩ ⟨ \vec{pag} ∣ A ∣ {\vec{pag}}^{'} ⟩ ⟨ {\vec{pag}}^{'} ∣ ψ ⟩

$\begin{equation} =\int\; d\vec{p}\; d\vec{p}^{\prime} \langle \psi\mid\vec{p}\rangle\langle\vec{p}\mid A\mid\vec{p}^{\prime}\rangle\langle\vec{p}^{\prime}\mid\psi\rangle \end{equation}$

Lachy · Answer 3

Creo que lo principal que te está dando problemas aquí es lo que entiendes que es la transformada de Fourier. Cuando dices "¿Pero una transformada de Fourier no es simplemente una descomposición de una función en una suma o integral de otras funciones?" Creo que estás confundiendo la 'transformada de Fourier' y la 'serie de Fourier'. Fourier era un tipo bastante prolífico y, como siempre sucede, tener muchas cosas con el nombre de la misma persona puede ser confuso. En cualquier caso, ya tienes tu respuesta. Si no puede averiguar cómo calcular una transformada de Fourier usando las respuestas anteriores (que son correctas), busque algunos ejemplos en línea. Es una herramienta increíblemente poderosa :)

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Lachy

Tratando de entender primero las bases de posición y momento en Mecánica Cuántica

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¿Se infirió el principio de incertidumbre mediante el análisis de Fourier?

Expresión de paquetes de ondas y transformadas de Fourier

Reconstrucción de las fases de la "función de onda" a partir de |ψ(x)||ψ(x)||\psi(x)| y |ψ~(p)||ψ~(p)||\tilde \psi(p)|

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