Estabilidad de rotación de un prisma rectangular.

El prisma rectangular es un cuerpo rígido. Las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa están dadas por: (Por favor, ver por ejemplo: Marsden y Ratiu , (página 6).

$$I_1\dot\Omega_1=(I_2-I_3)\Omega_2\Omega_3$$ $$I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega_3\Omega_1$$ $$I_3\dot\Omega_3=(I_1-I_2)\Omega_1\Omega_2$$

Dónde$\Omega_1,_2,_3$son las componentes de la velocidad angular alrededor de los ejes del cuerpo y$I_1,_2,_3$son los correspondientes momentos de inercia.

Dado que los momentos de inercia son diferentes, podemos suponer sin pérdida de generalidad que:$I_1>I_2>I_3$.

El hecho es que el movimiento constante alrededor del eje intermedio$2$no es estable, mientras que alrededor de los otros dos ejes, el movimiento es estable. Este hecho es explicado por Marsden y Ratiu en la página 30. Además, se dan varias otras explicaciones en las respuestas de una pregunta relacionada hecha en mathoverflow. Aquí describiré los detalles de un análisis de estabilidad linealizado.

Un estado estacionario en el que el vector de velocidad angular tiene solo una componente constante que no desaparece es una solución de las ecuaciones de movimiento.

Por ejemplo:

$$\Omega_1=\Omega = const.$$ $$\Omega_2=0$$ $$\Omega_3=0$$

es una solución que describe la rotación alrededor del primer eje. También

$$\Omega_1=0$$ $$\Omega_2=\Omega = const.$$ $$\Omega_3=0$$

es también una solución que describe la rotación alrededor del segundo eje.

Ahora, podemos analizar la estabilidad de pequeñas perturbaciones alrededor de estas soluciones. Una perturbación de la primera solución viene dada por:

$$\Omega_1=\Omega + \epsilon \omega_1$$ $$\Omega_2=\epsilon \omega_2$$ $$\Omega_3=\epsilon \omega_3$$

Con$\epsilon<<1$. Sustituyendo en las ecuaciones de movimiento y conservando sólo los términos hasta la primera potencia de$\epsilon$, obtenemos:

$$I_2\dot\omega_2=\epsilon \Omega(I_3-I_1)\omega_3$$ $$I_3\dot\omega_3=\epsilon \Omega(I_1-I_2)\omega_2$$

Tomando la primera derivada de la segunda ecuación con respecto al tiempo y sustituyendo la segunda ecuación, obtenemos:

$$I_2I_3\ddot\omega_3=\epsilon ^2 \Omega^2 (I_3-I_1)(I_1-I_2)\omega_3$$

Ya que$I_3<I_1$y$I_1>I_2$, el coeficiente del lado derecho es negativo y la perturbación satisface una ecuación de movimiento del oscilador armónico de la forma:

$$\ddot\omega_3 + k^2 \omega_3 =0$$

Repitiendo el análisis de perturbaciones para la segunda solución (rotación sobre el segundo eje) obtenemos:

$$I_2I_3\ddot\omega_3=\epsilon ^2 \Omega^2 (I_2-I_3)(I_1-I_2)\omega_3$$

Ya que$I_3<I_2$y$I_1>I_2$, este coeficiente ahora es negativo y la solución describe un oscilador armónico con una constante de resorte negativa de la forma:

$$\ddot\omega_3 - k^2 \omega_3 =0$$

Que es una perturbación inestable.

La inestabilidad inherente en el eje de longitud media o$\prod_2$como se muestra arriba, se analiza en detalle en Marsden y Ratiu , que es de donde proviene la imagen.

La órbita homoclínica inestable que conecta los dos puntos inestables tiene características interesantes. No solo son interesantes debido a las soluciones caóticas a través del método de Poincaré-Melnikov que se pueden obtener en varios sistemas perturbados (ref), sino que la órbita en sí misma es interesante ya que un cuerpo rígido arrojado sobre su eje medio sufrirá una interesante ( e inesperado) medio giro cuando se alcanza el punto de silla opuesto a pesar de que el eje de rotación ha vuelto a donde estaba.

El interesante medio giro se muestra mejor en el " efecto Dzhanibekov " y también se puede ver en el " teorema de la raqueta de tenis ".

Para aquellos que no entienden por qué la silla apunta a lo largo del eje de longitud media$\prod_2$en la imagen de arriba es inestable considere la siguiente imagen:

Fuente de imagen

Los tres ejes que describe son comparables respectivamente:

1. ~ una barra/eje
2. ~ un volante
3. ~ una hélice

¿Qué es la estabilidad y por qué dos ejes son estables mientras que el tercero es inestable?

La estabilidad se refiere a una oscilación "estable", que debe ser armónica como una masa en un resorte. Hay una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento.

$$F=-k*x=m*a=m*\frac{d^2x}{dt^2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(1)}$$ Para situaciones angulares la situación se vuelve mucho más complicada ya que el par es normal al plano de rotación. $$\tau =-\kappa \theta=I*\dot{\omega}=I*\frac{d^2\theta}{dt^2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(2)}$$

Cuando hay una fuerza fuera del eje alrededor de un eje estable, hay dos componentes de torque: uno a lo largo del eje primario que siempre causará una rotación lineal y un segundo perpendicular al eje (alrededor de 1 o ambos de los otros ejes), que en el la ausencia de la rotación primaria (o con una distribución de masa uniforme) también provocaría una rotación lineal. Entonces siempre hay dos pares; el principal grande, el segundo pequeño. Tanto con oscilaciones armónicas estables como con ejes de rotación estables, existe una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento. Richard Feynman ha realizado un trabajo fascinante para describir una placa que se tambalea, que se tambalea el doble de veces que gira.

Dejar$\hat{x}_1$,$\hat{x}_2$,y$\hat{x}_3$ser ejes a lo largo de los ejes más largo, medio y más corto del prisma rectangular, respectivamente. Durante la rotación estable (que ocurre cuando la rotación primaria es aproximadamente$\hat{x}_1$, y$\hat{x}_3$) los ejes secundarios trazan círculos como lo describe Feynman .

Conducir un análisis de un prisma rectangular de acuerdo con el método descrito por Feynman ciertamente mostrará que la rotación alrededor de$\hat{x}_2$crea una espiral en lugar de un círculo.

Ocurre la espiral

Imagina cómo un disco que gira sobre su eje es muy estable: la diferencia entre los momentos de inercia sobre los otros dos ejes es cero: es muy estable. Ahora reemplace el disco "O" con una estructura en forma de "X" que gira a lo largo de un eje normal al plano de la X. La rotación vuelve a ser estable por la misma razón. Corte dos brazos de la X en lados opuestos y la barra recta continúa girando en oscilaciones estables. Ahora agregue un cable a lo largo del eje de rotación pero que sobresalga de un solo lado de la varilla. De repente tienes el efecto Dzhanibekov, que es inestable al igual que agregar ancho a la barra a lo largo del eje de rotación para formar una forma comparable a un prisma rectangular. En el caso del cable, sigue siendo desconcertante, pero creo que proporciona una idea de la naturaleza del problema. Especialmente teniendo en cuenta que un trompo (disco giratorio con un cable que lo atraviesa asimétricamente) es muy estable, al igual que un trompo en forma de X... mientras que un trompo en forma de hélice ni siquiera es un trompo en realidad. Así que tome un trompo en forma de O que gire en gravedad cero y al azar haga que vuelen pedazos del disco en forma de casi medio círculo para que se convierta en una hélice. Ahora, el momento de inercia sobre el eje de la "pala" de la hélice giratoria (el eje de mayor longitud) se reduce considerablemente mientras que, al mismo tiempo, la fuerza giroscópica se reduce drásticamente.Tiene sentido que este eje (el más largo) se convierta en "un eje de rotación libre" en un grado u otro ... con las fuerzas giroscópicas o centrífugas de la "cuchilla" giratoria sumando y luego restando del eje a medida que gira hacia atrás y en el efecto Dzhanibekov . La diferencia entre la longitud del eje de longitud media$\prod_2$y el eje mas corto$\prod_1$cumple la misma función que el eje del objeto similar a una hélice en el efecto Dzhanibekov: específicamente da y toma energía centrípeta del eje primario de rotación$\prod_2$representado por el punto de silla.

Además, observe cómo un trompo, cuando se desacelera, comienza a hacer una precesión en círculos cada vez más grandes hasta que se cae. ¿Es eso simplemente una precesión giroscópica? ¿O es el primer signo de oscilación inestable comparable al trazo espiral del eje en el efecto Dzhanibekov? Yo especularía que es un poco de ambos: la parte superior probablemente no sea un disco perfecto y una vez que comience el bamboleo, es probable que se agregue una precesión giroscópica.

Podría agregar que una peonza en forma de Y (60 grados de separación) tiene algunas propiedades particularmente fascinantes, ya que tiene similitudes tanto con una caja como con una hélice, pero sigue siendo una peonza porque la simetría radial permite que las fuerzas giroscópicas estabilicen el eje de longitud media. Como señaló Ben Crowell en los comentarios, este efecto se explica con hermosos detalles intuitivos aquí en la sección 4.3.3, cuyo enlace directo al pdf está aquí . Copié la explicación allí de la siguiente manera:

Para un objeto asimétrico típico, el vector de momento angular y el vector de velocidad angular no necesitan ser paralelos. Es decir, sólo para un cuerpo que posee simetría respecto al eje de rotación es cierto que$L=I\omega$(el equivalente rotacional de$p=mv$) para algún escalar I.... (derivación elegante de :)

$$K=\frac 12 L\cdot \omega$$ .... Analicemos el problema de la zapatilla giratoria que planteé al principio del capítulo. Los tres ejes de rotación (comparables a un prisma rectangular) a los que se hace referencia son aproximadamente los ejes principales del zapato. Mientras el zapato está en el aire, no actúan torsiones externas sobre él, por lo que su vector de momento angular debe ser constante. Sin embargo, eso está en el marco de referencia de la habitación. El marco del eje principal está unido al zapato y cae locamente junto con él. En el marco del eje principal, la energía cinética y la magnitud del momento angular permanecen constantes, pero no es necesario que la dirección real del momento angular permanezca fija (como vio en el caso de la rotación que fue inicialmente sobre el eje de longitud intermedia) . Constante $|L|$da $${L_x}^2+ {L_y}^2+ {L_z}^2=constant$$ En el marco del eje principal, es fácil de resolver para los componentes de $\omega$en términos de las componentes de L, por lo que eliminamos $\omega$de la expresión $2K=L\cdot \omega$, donación $$\frac{1}{I_xx}{L_x}^2 + \frac{1}{I_yy}{L_y}^2+ \frac{1}{I_zz}{L_z}^2=constant \# 2$$

La primera ecuación es la ecuación de una esfera en el espacio tridimensional ocupado por el vector momento angular, mientras que la segunda es la ecuación de un elipsoide:

La figura superior corresponde al caso de rotación sobre el eje más corto, que tiene el elemento de mayor momento de inercia. La intersección de las dos superficies consta únicamente de los dos puntos en la parte delantera y trasera de la esfera. El momento angular está confinado a uno de estos puntos, y no puede cambiar su dirección, es decir, su orientación con respecto al sistema de ejes principales, que es otra forma de decir que el zapato no puede cambiar su orientación con respecto al vector de momento angular. En la figura inferior, el zapato gira sobre el eje más largo. Ahora el vector de momento angular está atrapado en uno de los dos puntos a la derecha o a la izquierda. Sin embargo, en el caso de rotación alrededor del eje con el elemento de momento de inercia intermedio, la intersección de la esfera y el elipsoide no es solo un par de puntos aislados, pero la curva que se muestra con la línea discontinua. La orientación relativa del zapato y el vector de momento angular pueden cambiar y cambiarán.

Una aplicación del tensor de momento de inercia son los videojuegos que simulan carreras de autos o aviones voladores...

Otro ejemplo exótico tiene que ver con la física nuclear. Aunque probablemente haya visualizado los núcleos atómicos como nada más que puntos sin rasgos distintivos, o tal vez pequeñas esferas, a menudo son elipsoides con un eje largo y dos más cortos e iguales. Aunque un núcleo giratorio normalmente se deshace de su momento angular a través de la emisión de rayos gamma dentro de un período de tiempo del orden de picosegundos, puede suceder que un núcleo deformado entre en un estado en el que un gran momento angular está a lo largo de su eje largo, lo que es un modo de rotación muy estable. ¡Tales estados pueden vivir por segundos o incluso años! (Hay más en la historia, este es el tema sobre el que escribí mi tesis doctoral, pero la idea básica se aplica a pesar de que el tratamiento completo requiere una mecánica cuántica sofisticada).

Nuestro análisis ha asumido hasta ahora que la energía cinética de la energía de rotación no se puede convertir en otras formas de energía, como calor, sonido o vibración. Cuando esta suposición falla, la rotación alrededor del eje de menor momento de inercia se vuelve inestable y eventualmente se convertirá en rotación alrededor del eje cuyo momento de inercia es mayor. Esto le sucedió al primer satélite artificial de EE. UU., Explorer i, lanzado en 1958. Tenga en cuenta las largas antenas flexibles, que tendían a disipar la energía cinética en vibración. Había sido diseñado para girar sobre su eje de mínimo momento de inercia, pero casi de inmediato, tan pronto como estuvo en el espacio, comenzó a girar de un extremo a otro. Sin embargo, fue capaz de llevar a cabo su misión científica, que no dependía de poder mantener una orientación estable,

Una pregunta relacionada aquí en Physics.SE
Una pregunta relacionada en MathOverflow

Estudié este problema hace 20 años en un curso de mecánica clásica, y recuerdo que cuando resuelves las ecuaciones de movimiento, obtienes un componente exponencial imaginario que describe el movimiento de cada eje.

Sin embargo, en el caso del eje intermedio, obtienes una multiplicación de dos números imaginarios en el exponencial, lo que luego te da un número real en el exponencial y en lugar de un movimiento sinusoidal, comienza a ser exponencial puro.

Por supuesto, esto no conduce a un movimiento exponencial real ya que no hay nada que lo sostenga en la forma en que la inercia sostiene la rotación por un tiempo en las otras dos direcciones, pero como resultado se vuelve rápidamente inestable.

Intuitivamente, por qué esto debería volverse inestable, aunque más allá de las matemáticas, nunca tuve una comprensión firme. Y supongo que de la misma manera es difícil obtener una comprensión intuitiva firme de cualquier cosa en QM, nunca lo intenté realmente...

Supongo que, en términos sencillos, esto se puede describir usando solo el momento de inercia y el centro de masa. En el ejemplo (a), el libro se sujetaría con el eje de rotación en posición horizontal, lo que generaría un bajo momento de inercia con respecto a otros ejes porque es muy estrecho en esta dirección. Esto minimizaría la rotación sobre un eje diferente y el libro solo rotaría sobre el eje 1.

En el ejemplo (b), lo contrario es cierto. Sin embargo, el momento de inercia es mayor, dado que el libro es más ancho en esa dirección, es más fácil colocar los dedos más cerca del eje que pasa por el centro de masa, lo que produce menos torsión en otras direcciones.

El ejemplo (c) presentaría un problema, porque el más mínimo desplazamiento desde el centro podría crear un par en otras direcciones. Supongo que esto se debe a que su mano es grande en comparación con el ancho del libro y casi siempre estará desplazada del eje central. Sin embargo, incluso con manos más pequeñas, aún sería difícil porque cada transecto tendría mucha masa debido a la longitud, y inclinar el libro crearía un desequilibrio de torsión.

Esa es mi interpretación de este problema sin usar ninguna matemática de nivel de posgrado y está abierta al desacuerdo.