¿Por qué el teorema del eje perpendicular es aplicable solo para objetos laminares (2-D)?

Para un objeto 3D, aunque los cortes son todos laminares y el teorema de los ejes paralelos se aplica de forma independiente para cada lámina, no se aplica a todos juntos, es decir, para el objeto 3D. La razón es que aunque las láminas tienen el mismo eje z, no tienen los mismos ejes x e y. Por lo tanto, no puede simplemente agregar los momentos de inercia (MOI) para los ejes x e y para cada lámina. Los ejes x e y de cada lámina son paralelos pero están desplazados entre sí y de los ejes x e y que está utilizando para el objeto 3D. Como señala @Triatticus, debe aplicar el Teorema del eje paralelo a cada lámina.

Puede agregar los valores$I_z$para cada lámina obtener el valor de$I_z$para el cuerpo 3D, siempre que todos los ejes z coincidan. La lámina no tiene que ser simétrica para hacer esto, y el eje z ni siquiera tiene que pasar por el centro de masa de cada lámina. Sin embargo, esta no es una aplicación del teorema del eje perpendicular: aquí no hay ejes perpendiculares .

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Suponga que su objeto 3D consta de dos discos coaxiales, cada uno de masa$m=\frac12 M$y radio$a$separados por una distancia$2b$.

El MOI para este objeto 3D sobre el eje z común es$I_z=2\times \frac12 ma^2=\frac12 Ma^2$. es igual a la suma de los$I_z$para los 2 discos porque los ejes z coinciden. Si el objeto 3D satisfizo el teorema del eje perpendicular, los MOI sobre los ejes perpendiculares serían$I_x=I_y=\frac14 Ma^2$. Sin embargo, ¿ dónde se encuentra el origen de estos ejes x, y? Cuando aplica el Teorema del eje perpendicular para cada disco, está utilizando un origen diferente para cada uno, generalmente el centro de cada disco. Cuando verifica el Teorema del eje perpendicular para el objeto 3D, está utilizando el centro geométrico de los 2 discos como origen, que es el punto medio de los centros de los 2 discos.

Los MOI para cada disco sobre los ejes x e y a través de sus propios centros de masa son$I_x=I_y=\frac14 ma^2$que satisface el teorema del eje perpendicular. Pero estos ejes no coinciden con los ejes x e y a través del COM para el objeto 3D. Los ejes x, y del disco están cada uno desplazados por una distancia$b$del objeto 3D x, ejes y. Usando el teorema del eje paralelo, los MOI sobre los ejes x e y a través de los COM del objeto 3D son

$$I_x=I_y=2(\frac14 ma^2+mb^2)=\frac14 Ma^2+Mb^2 \ne \frac12 I_z$$ La igualdad sólo se aplica cuando $b=0$- es decir, cuando los discos coinciden.

En general, los momentos de inercia de un objeto 3D se definen por la distancia desde el eje correspondiente:

$$I_x=\int (y^2+z^2)dm$$ $$I_y=\int (x^2+z^2)dm$$ $$I_z=\int (x^2+y^2)dm$$ Tenga en cuenta que estas definiciones utilizan el mismo sistema de coordenadas, incluido el mismo origen. Entonces $$I_x+I_y=\int (x^2+y^2+2z^2)dm=I_z+2\int z^2 dm$$ El teorema del eje perpendicular $I_x+I_y=I_z$solo se aplica si $z=0$para todos los puntos del objeto - es decir, si el objeto está confinado a la $xy$avión.

Su método es correcto, pero no lo llamaría lo mismo que el teorema del eje perpendicular. Esto se debe a los puntos que otros ya han mencionado. Para un objeto 2D en el plano xy sabemos que$I_z=I_x+I_y$. Los objetos en 3D también se pueden girar sobre estos mismos ejes, y en general no es cierto que$I_z=I_x+I_y$(como ya se ha señalado). En cambio, diría que solo está aplicando el teorema del eje perpendicular a cada rebanada para que pueda sumar cada$I_z$encontrar$I_z$del cuerpo compuesto. Pero supongo que en este punto todo depende de lo que quieras decir cuando "defines" el "teorema del eje perpendicular 3D".

Suma:

Como se ha señalado, también hay que tener en cuenta que mientras que el compuesto$I_z$es la suma de cada$I_z$, no se puede decir lo mismo de los momentos de inercia respecto a los demás ejes.$\Sigma I_x$no es igual a$I_x$Por ejemplo.