¿Está bien definida la simultaneidad en la relatividad general?

La simultaneidad no tiene absolutamente ningún significado en GR. En RS, decimos que la simultaneidad es relativa y no se puede confiar. En GR, ni siquiera decimos eso. Ocasionalmente, puede sorprender a alguien usando la palabra "simultáneo", pero eso no significa lo que piensa. En GR, puede tomar cualquier evento, cualquier marco de referencia, cualquier conjunto de valores y definir alguna coordenada temporal arbitraria que fomente el espacio-tiempo de modo que casi todo sea "simultáneo". Luego, puede cambiar el indicador y toda la noción de cambios de tiempo.

Lo que normalmente hacemos es elegir una métrica con algún tiempo de coordenadas. Entonces podemos "decir" que todos los eventos en el mismo tiempo coordinado son una "hipersuperficie de tiempo constante", que es el equivalente GR de "simultáneo". Sin embargo, puede elegir algún otro valor dependiente del tiempo. Por ejemplo, en cosmología inflacionaria, podríamos tener una métrica con algún tiempo coordinado,$t$, y un campo de inflación,$\phi$. Podríamos evolucionar a través de la inflación con respecto a constante$t$hipersuperficies, pero entonces llamamos al momento en que$\phi$alcanza algún valor correspondiente al final de la inflación para ser simultánea, incluso si no es una constante$t$hipersuperficie Hacemos esto porque queremos decir que la inflación termina en todas partes al mismo tiempo, lo que significa que ahora estamos definiendo una constante$\phi$hipersuperficie como simultánea. Esto ni siquiera es una diferencia en los marcos de referencia, todo lo que tenemos que hacer es elegir un indicador diferente para nuestra métrica y podemos definir un nuevo concepto de simultaneidad.

Entonces, para responder a su pregunta, no, la simultaneidad es una idea sin sentido en el espacio curvo. Lo que usamos son hipersuperficies constantes; elegimos un parámetro que tiene una foliación deseada del espacio-tiempo y luego cortamos el espacio-tiempo de manera que cada punto en ese corte tenga el mismo valor del parámetro elegido.

Puede definir arbitrariamente un tiempo de coordenadas y tomar sus hipersuperficies constantes como simultáneas, pero eso es incluso menos significativo que en SR.

Digamos que tenemos una congruencia de observadores con algún campo de 4 velocidades$u^{\alpha}$. Localmente cada observador tiene un plano de simultaneidad determinado por la convención de sincronización de Einstein al igual que en SR. Ahora bien, si estos observadores pueden sincronizar sus relojes con sus vecinos infinitesimales, podemos "parchar" estos planos de simultaneidad locales para formar una familia de un parámetro de superficies de simultaneidad global con una coordenada de tiempo global en la que todos los observadores de la congruencia estén de acuerdo.

Esto es, hasta donde yo sé, lo más cercano que se puede llegar a la noción usual de simultaneidad en marcos inerciales en SR. Tenga en cuenta que esto no es realmente especial para GR; uno puede encontrar sutilezas con respecto a la simultaneidad incluso en marcos giratorios en SR, por ejemplo.

De todos modos, la condición para que exista tal foliación es la condición habitual de Frobenius de que$u_{[\alpha}\nabla_{\beta}u_{\gamma]} = 0$.

Creo que hay algunas nociones candidatas, pero no es obvio cuál es la correcta.

Puedes hablar de superficies que están en todas partes ortogonales a un campo de muerte similar al tiempo.

Si no hay un campo de muerte similar al tiempo, siempre se puede hablar de la superficie generada geodésicamente por un vector similar al tiempo en$p$: el conjunto de puntos de las geodésicas que pasan por$p$que son ortogonales a ese vector.

Creo que ambas definiciones te dan planos de simultaneidad en un espacio-tiempo plano de Minkowski, pero pueden separarse en un entorno más general.

(La gente a veces habla de superficies de Cauchy, superficies que intersecan cada curva temporal o nula exactamente una vez. Pero estos no son equivalentes a los planos de simultaneidad en el espacio de Minkowski).

"Simultaneidad" tiene un significado técnico bien definido en SR, así como en GR.

A lo que me refiero es a la "convención de Einstein para la definición de simultaneidad", es decir, al conjunto de eventos que son considerados por un observador$O$como simultáneo a un evento de referencia dado en su línea de tiempo. La respuesta de @FenderLesPaul dice esto de una manera matemática más refinada.

La simultaneidad en GR es una generalización del mismo concepto en SR: dado un observador$O$, es posible definir un espacio 3D como subvariedad llamado "presente de$O$" (esta es la variedad que es ortogonal a la 4-velocidad del observador$O$). Eventos en el presente de$O$son "simultáneos" (no simultáneos de manera absoluta, sino simultáneos según$O$).

En GR el "presente" de un solo observador se define "en su vecindad": dado que el espacio-tiempo de GR es localmente plano, la misma construcción de SR se aplica en el llamado "espacio tangente". Si desea extender el concepto a todas partes (no solo en las inmediaciones de$O$), entonces necesita toda una familia de observadores (es decir, una familia de líneas de universo que cumplan la condición de Frobenius).

Para profundizar más, le sugiero que eche un vistazo a "3.2 Observadores, factores de Lorentz y velocidades relativas" aquí: https://arxiv.org/abs/gr-qc/0603009