Geometría diferencial de grupos de Lie

Lo que voy a decir se aplica solo a los grupos de Lie con álgebras de Lie de dimensión finita. En este caso, puede haber una elección natural de métrica para el grupo de Lie bajo algunos supuestos. Las construcciones relevantes se definen en el álgebra de Lie del grupo.

En el álgebra de mentira$\mathfrak{g}$, podemos definir, para cada elemento$X \in \mathfrak{g}$, la acción adjunta sobre el álgebra misma dada por su paréntesis de mentira$ad_X(.)=[X,.]$. Ahora, podemos definir una forma bilineal simétrica en$\mathfrak{g}$, la forma de Matar, por$B(X,Y)=Tr(ad_X ad_Y)$, ya que$ad_X$se puede expresar en términos de una matriz que actúa sobre los vectores del álgebra de Lie. Ahora tenemos que esta forma también será no degenerada iff$\mathfrak{g}$es semisimple (criterio de Cartan). Esta forma ahora solo se define en el espacio tangente sobre la identidad del grupo. Podemos definir una métrica usando el hecho de que cualquier espacio tangente puede mapearse, para tal grupo de Lie, al espacio tangente sobre la identidad. Es posible que esta métrica no sea positiva definida, pero en ciertos casos, como si el grupo de Lie fuera compacto, la forma Killing es negativa definida y, por lo tanto, podemos formar una métrica positiva definida usando$-B(X,Y)$.

Ahora, la forma de Matar será invariable bajo$ad$. Tomando la derivada de Lie con respecto a$X \in \mathfrak{g}$de la métrica definida anteriormente, obtendremos$B(ad_X(Y),Z) - B(Y,ad_X (Z)) = 0$. Al extender este$X$a un campo vectorial invariante a la derecha en el grupo de Lie, esta propiedad se mantiene, lo que significa que este campo vectorial es Killing, o está compuesto por vectores Killing. Esto muestra que hay una forma de relacionar algunos vectores Killing con el grupo subyacente.

Con respecto a su pregunta sobre una teoría cuántica de campos sobre el grupo de Lie, no estoy tan seguro. Si elige la métrica anterior, entonces también tiene simetrías generadas por los campos Killing obtenidos a través de la estructura de álgebra de Lie. Esto implica que sus campos QFT deben ser representaciones para el grupo de estas simetrías.

No soy un teórico de campo, pero puedo decir que si formula una teoría sobre un grupo de Lie en lugar de una variedad general, ciertamente hay propiedades heredadas por esa teoría que podría no tener en una variedad uniforme general. Los grupos de mentira son variedades extremadamente especiales: algunas de sus propiedades que las variedades generales no tienen son:

1. El grupo fundamental es abeliano, como lo es para todos los grupos topológicos. Por el contrario, para cada grupo finitamente presentado, se puede encontrar una variedad suave con este grupo como su grupo fundamental. El complemento de un nudo de trébol es una variedad con un grupo trenzado no abeliano.$B_3$y, por lo tanto, un buen contraejemplo (consulte la sección B en el capítulo 6 que comienza alrededor de la página 51 en "Nudos y eslabones" de Rolfsen para una buena discusión de esto).

2. La variedad es paralelizable : los campos vectoriales invariantes a la izquierda y a la derecha no desaparecen en ninguna parte. De manera informal, el cabello de un grupo de Lie siempre se puede peinar en todas partes. Por lo tanto, hay un grupo de Lie que es un toro y un grupo de Lie que es de 3 esferas (como es su ejemplo$SU(2)$), pero no hay ningún grupo de Lie que también sea de 2 esferas, ya que esto está descartado por el teorema de Hairy Ball.

3. A través de las operaciones de traslación izquierda/derecha, se puede definir una noción de transporte paralelo en un grupo de Lie que es independiente del camino. Entonces se le puede dar una conexión plana. Naturalmente, aquí hay una torsión distinta de cero (y, naturalmente, esta no es la conexión Levi-Civita que se puede definir, para grupos compactos, a través de la métrica de la forma Killing de la que se habla en la Respuesta de G. Bergeron ) .

Por último, un punto interesante es que solo se necesita ( i ) mostrar que un grupo topológico es localmente homeomorfo a$\mathbb{R}^N$y ( ii ) mostrar que no tiene la propiedad de subgrupos pequeños y luego los resultados de Montgomery-Zippin-Gleason-Yamabe toman el control y garantizan un grupo de Lie y, por lo tanto, que la variedad es suave (de hecho$C^\omega$) automáticamente. Consulte la página wiki del quinto problema de Hilbert . Terrence Tao también hace una gran reseña de este maravilloso trabajo en su artículo "El quinto problema de Hilbert y las métricas de Gleason" en su blog.