Espacios no euclidianos en Mecánica Cuántica

El espacio de Hilbert de estados físicos de cualquier sistema físico es un espacio vectorial complejo positivamente definido, es decir, la longitud propia al cuadrado se puede calcular como

$$ds^2 = |da_1|^2 + |da_2|^2 + \dots$$ También podemos dividir las coordenadas complejas ("amplitudes") $a_i$a las partes reales y a las partes imaginarias lo que convierte a la $N$-espacio complejo dimensional a un $2N$espacio euclidiano real bidimensional. Bajo esta transición, también podemos definir los ángulos entre dos vectores, a través de $$\cos(\alpha) = \frac{|\langle u| v \rangle|}{|u|\cdot |v|}$$ Hay varias generalizaciones básicas de este espacio "euclidiano" a uno no euclidiano.

En primer lugar, algunos de los términos$|da_i|^2$en la fórmula de la$ds^2$podrían recibir coeficientes negativos; más generalmente, la forma bilineal podría ser indefinida. Si es definida negativamente, obtenemos un espacio de Hilbert isomorfo y deberíamos cambiar el signo general de$ds^2$para lograr la convención habitual positivamente definida. Pero si$ds^2$es realmente indefinido, es decir, admitiendo ambos signos, tenemos un problema con la interpretación de la mecánica cuántica porque$ds^2$se interpreta como una probabilidad por la mecánica cuántica y las probabilidades simplemente no pueden ser negativas (no pueden tener ambos signos).

Entonces, los espacios indefinidos de Hilbert no son posibles para una teoría que pueda interpretarse físicamente. Sin embargo, los espacios indefinidos de Hilbert aparecen a menudo en las teorías modernas como un paso intermedio, en teorías con simetrías de calibre, fantasmas malos y fantasmas buenos (cuantificación BRST). Por ejemplo, es natural tener un espacio de Hilbert con 4 polarizaciones de un fotón para cada vector permitido$k^\mu$; la firma de este espacio de 4 dimensiones complejas es$3+1$, al igual que para el espacio-tiempo. Pero la simetría de calibre y la ley de Gauss relacionada hacen$1+1$polarizaciones no físicas, dejando solo 2 polarizaciones físicas (digamos$x,y$) con una norma positivamente definida. Este es un ejemplo maestro para todas las situaciones análogas.

Otra posible generalización no euclidiana podría ser un espacio riemanniano curvo. El espacio de Hilbert no se puede deformar a uno curvo debido al principio de superposición: en la mecánica cuántica, la combinación lineal de dos vectores permitidos también debe permitirse. No se conoce ninguna deformación no lineal consistente conocida de la mecánica cuántica y probablemente no pueda existir. Después de todo, la libertad de considerar superposiciones lineales es solo la contrapartida compleja de la libertad de considerar superposiciones lineales de distribuciones de probabilidad.

También se podría tratar de discutir generalizaciones no conmutativas del espacio de Hilbert. Pero debido a la irrelevancia de la escala general de un vector,$|\psi\rangle \to a |\psi\rangle$, tampoco debería haber ningún parámetro análogo al "parámetro de no conmutatividad" en el espacio de Hilbert. Los espacios no conmutativos son útiles en la mecánica cuántica, pero generalizan los espacios de fase clásicos (porque$p,x$no conmutar en mecánica cuántica), no espacios de Hilbert.