¿Por qué los sujetadores son kets conjugados? ¿Por qué el cambio de bra<->ket requiere conjugación?

Question

¿Por qué los sujetadores son kets conjugados? ¿Por qué el cambio de bra<->ket requiere conjugación?

JoseOrtiz3

Estoy confundido acerca de la inversión de bra-ket y por qué requiere conjugación.

⟨ ϕ | x ⟩ = ⟨ x | ϕ ⟩^{*}

$\langle \phi|\chi \rangle = \langle \chi|\phi \rangle ^*$

O equivalentemente por qué

| x ⟩^{*} = ⟨ x |

$|\chi \rangle ^* = \langle \chi |$

Traté de entenderlo con el siguiente argumento (que sigue a Feynman Lecture's Vol 3 Ch 5). Si tiene las conferencias de Feynman, estoy tratando de entender cómo obtiene Feynman la ecuación 5.26.

Digamos $R$ es una base tridimensional completa particular para los estados que nuestro sistema puede tomar (como para una partícula de espín-1), con vectores base $R_1,R_2,R_3$ .

Un estado $\chi$ se puede representar en esta base ya que la base es completa:

| x ⟩ = \sum_{i = 1, 2, 3} | R_{i} ⟩ ⟨ R_{i} | x ⟩

$|\chi\rangle=\sum_{i=1,2,3}|R_i\rangle\langle R_i | \chi \rangle$

Ahora considere la cantidad

⟨ x | x ⟩

$\langle \chi | \chi \rangle$ Físicamente, diríamos que esta es la amplitud compleja para un sistema en el estado $\chi$ estar en estado $\chi$ . Es solo un número (que podría ser complejo si no hemos asumido

| χ ⟩^{*} = ⟨ χ |

$|\chi \rangle ^* = \langle \chi |$ ).

Dado que la probabilidad asociada con esta amplitud es la norma (longitud) de la amplitud, podemos decir con confianza que cualquier número $\langle \chi | \chi \rangle$ es decir, su norma es una:

⟨ x | x ⟩^{*} ⟨ x | x ⟩ = 1

$\langle \chi | \chi \rangle^*\langle \chi | \chi \rangle=1$ En palabras, hay un 100% de probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado en que se encuentra.

Pero me parece que solo lo restringe al círculo unitario en el plano complejo: $\langle \chi | \chi \rangle = e^{i\theta}$ dónde $\theta$ podría ser cualquier cosa.

si escribimos $\langle \chi | \chi \rangle$ en nuestro $R$ base, obtenemos

⟨ x | x ⟩ = \sum_{i = 1, 2, 3} ⟨ x | R_{i} ⟩ ⟨ R_{i} | x ⟩ = {mi}^{i θ}

$\langle \chi | \chi\rangle=\sum_{i=1,2,3}\langle \chi |R_i\rangle\langle R_i | \chi \rangle = e^{i\theta}$ Vemos que cada término

⟨ χ | R_{i} ⟩ ⟨ R_{i} | χ ⟩

$\langle \chi |R_i\rangle\langle R_i | \chi \rangle$ sólo puede variar (para diferentes opciones de

R

$R$ ) en formas que preservan la última igualdad, pero parece requerir

⟨ R_{i} | x ⟩ = ⟨ x | R_{i} ⟩^{*}

$\langle R_i|\chi \rangle = \langle \chi|R_i \rangle ^*$

Es una condición demasiado fuerte si $\theta$ es arbitrario Si $\theta=0$ o necesitaba elegir un valor y apegarse a él, pude ver por qué se puede requerir esa condición, pero ni siquiera estoy seguro de eso. O tal vez simplemente no veo el argumento.

¿Alguien puede ayudar con el razonamiento aquí?

En las conferencias de Feynman, dice efectivamente que debido a que la probabilidad de $\chi$ ser cualquier estado en $R$ es 1 (R es una base completa)

⟨ R_{1} | x ⟩ ⟨ R_{1} | x ⟩^{*} + ⟨ R_{2} | x ⟩ ⟨ R_{2} | x ⟩^{*} + ⟨ R_{3} | x ⟩ ⟨ R_{3} | x ⟩^{*} = 1

⟨ χ | χ ⟩ = 1

$\langle \chi | \chi \rangle = 1$ ...

⟨ x | R_{1} ⟩ ⟨ R_{1} | x ⟩ + ⟨ x | R_{2} ⟩ ⟨ R_{2} | x ⟩ + ⟨ x | R_{3} ⟩ ⟨ R_{3} | x ⟩ = 1

Entonces porque $R$ y $\chi$ puede variar libremente, supongo (?) cada término podría variar independientemente requiriendo para cada término que

⟨ x | R_{i} ⟩ = ⟨ R_{i} | x ⟩^{*}

$\langle \chi | R_i \rangle = \langle R_i | \chi \rangle ^*$

Si esto no fuera cierto, la probabilidad no se "conservaría" y las partículas se "perderían". -Feynman

pero esto supone que la amplitud en la segunda ecuación es $1$ (no $e^{i \theta}$ ) mientras que asume con seguridad que la probabilidad en el primero es $1$ .

¿Quieres ayudarme a entender este argumento?

En cambio, alguien podría probar que cualquier elección que no sea $1$ resultaría en una física absurda. O alguien podría explicar eso $\langle \phi|\chi \rangle = \langle \chi|\phi \rangle ^*$ resulta de una simetría más profunda.

usuario108787

¿Qué pasaría con la probabilidad si

⟨ x | x ⟩

$\langle x|x \rangle$ no era igual a 1?

JoseOrtiz3

Buena pregunta. Me parece que la probabilidad solo puede seguir funcionando si eliges un valor de

e^{i θ}

$e^{i \theta}$ en cambio.

Respuestas (3)

¿Por qué los sujetadores son kets conjugados? ¿Por qué el cambio de bra<->ket requiere conjugación?

¿Qué pasaría con la probabilidad si $\langle x|x \rangle$ no era igual a 1?
Buena pregunta. Me parece que la probabilidad solo puede seguir funcionando si eliges un valor de $e^{i \theta}$ en cambio.

InformalCiencia · Answer 1

Recuerde la definición de un espacio de producto interno, un espacio vectorial equipado con un mapa $n$ que devuelve un escalar para cualquier par de vectores. En la mecánica cuántica, el espacio de estados de Hilbert para cualquier sistema cuántico es siempre un espacio de producto interno con la interpretación que anotaste anteriormente: El producto interno de un estado $A$ en un estado $B$ , $\langle A|B\rangle$ , es la amplitud de probabilidad de medir el sistema para estar en el estado $A$ dado que tiene conocimiento, el sistema está en estado $B$ .

En lugar de considerar el conjunto de vectores y un mapa de dos vectores $n(w,v)$ , podemos tomar la perspectiva en cambio de que hay un espacio dual . Los vectores de estado físico son "kets" por así decirlo, pero existe otro espacio vectorial, llamado espacio dual , que está lleno de "bras". Estos sujetadores forman el espacio de los mapas lineales desde los kets hasta los números complejos (los escalares en la mecánica cuántica).

Observe que existe una correspondencia uno a uno entre los bras y los kets ya que, por linealidad, los operadores en el espacio dual están totalmente definidos por su acción sobre un conjunto completo de vectores base en el espacio ket. Eso significa que podemos tener una noción de llevar un ket a un sostén y viceversa, normalmente lo denotamos por $\dagger$ , pero también a veces por $*$ o una barra.

Y, de nuevo usando la correspondencia, parametrizamos el espacio de sujetadores por objetos, $\langle x |$ , con la propiedad $\langle x | y \rangle = \delta_{xy}$ . Inmediatamente podemos calcular las propiedades de transformación para una base ortonormal de sujetadores considerando la acción de un sujetador correctamente normalizado en un ket correctamente normalizado.

| X ⟩ = a_{1} | a_{1} ⟩ + a_{2} | a_{2} ⟩ .

$|x\rangle = a_1 |a_1\rangle + a_2 |a_2\rangle.$

El vector dual debe estar dado por

⟨ X | = {\bar{a}}_{1} ⟨ a_{1} | + {\bar{a}}_{2} ⟨ a_{2} |

$\langle x | = \bar{a}_1 \langle a_1 | + \bar{a}_2 \langle a_2|$

si vamos a tener eso

\begin{aligned} ⟨ X | X ⟩ & = \bar{a_{1}} a_{1} ⟨ a_{1} | a_{1} ⟩ + \bar{a_{2}} a_{2} ⟨ a_{2} | a_{2} ⟩ + \bar{a_{1}} a_{2} ⟨ a_{1} | a_{2} ⟩ + \bar{a_{2}} a_{1} ⟨ a_{2} | a_{1} ⟩ \\ = \bar{a_{1}} a_{1} ⟨ a_{1} | a_{1} ⟩ + \bar{a_{2}} a_{2} ⟨ a_{2} | a_{2} ⟩ + 0 + 0 \\ = 1, \end{aligned}

$\begin{align}\langle x|x\rangle &= \bar{a_1} a_1 \langle a_1|a_1\rangle + \bar{a_2} a_2 \langle a_2|a_2\rangle + \bar{a_1} a_2 \langle a_1|a_2\rangle + \bar{a_2} a_1 \langle a_2|a_1\rangle \\ &= \bar{a_1} a_1 \langle a_1|a_1\rangle + \bar{a_2} a_2 \langle a_2|a_2\rangle + 0 + 0 \\ &= 1,\end{align}$

que es requerido por la ortonormalidad.

Gracias. Dos preguntas: " $\langle A | B \rangle$ es la probabilidad de medir el sistema para estar en estado..." ¿No te refieres a la amplitud, un número complejo? Todavía tienes que tomar la norma de eso para obtener la probabilidad, ¿verdad? Además, parece que todavía estamos asumiendo la amplitud $\langle x | x \rangle = 1$ y no $e^{i \theta}$ , ambos con normas de $1$ . También podría necesitar una aclaración sobre "en el campo subyacente"
Sí, $\langle A|B\rangle$ es por supuesto la amplitud. El campo subyacente significa los escalares del espacio vectorial. Tienes razón en que estamos eligiendo una base para nuestro espacio dual tal que el operador actúe sobre nuestros vectores de forma ortonormal. En general, no hay una necesidad absoluta para esto. Sin embargo, si elegimos usar una base donde $\langle x|x\rangle = k$ , entonces simplemente hacemos los cálculos más difíciles. En general, podríamos usar una base tal que $\langle x|x\rangle = k(x)$ , pero entonces solo nos complicaríamos la vida ya que parece que no hay física en la elección de $k$ , así que elegimos $k=1$

alfredo centauro · Answer 2

Pero me parece que solo lo restringe al círculo unitario en el plano complejo: ⟨χ|χ⟩=eiθ donde θ podría ser cualquier cosa.

La probabilidad de encontrar un sistema, preparado en estado $|y\rangle$ , estar en $|x\rangle$ es

PAG (y \to X) = \frac{| ⟨ X | y ⟩ |^{2}}{⟨ X | X ⟩ ⟨ y | y ⟩}

$P(y \rightarrow x) = \frac{|\langle x | y \rangle |^2}{\langle x | x \rangle \langle y | y \rangle }$

La probabilidad debe ser real y el numerador es real. Resulta que $\langle x | x \rangle$ y $\langle y | y \rangle$ son conjugados reales o complejos.

Pero entonces

PAG (y \to y) = \frac{| ⟨ y | y ⟩ |^{2}}{⟨ y | y ⟩ ⟨ y | y ⟩} = 1

$P(y \rightarrow y) = \frac{|\langle y | y \rangle |^2}{\langle y | y \rangle \langle y | y \rangle } = 1$

lo que implica $\langle y | y \rangle$ es real.

$P(y \rightarrow x) = \frac{|\langle x | y \rangle |^2}{\langle x | x \rangle \langle y | y \rangle }$ ¿De dónde salió el denominador? ¿Por qué para encontrar la probabilidad estás dividiendo por dos amplitudes? solo he visto $P(y \rightarrow x) = |\langle x | y \rangle |^2$ lo que supongo que supone que los vectores están normalizados.
@OrangeSherbet, vea, por ejemplo, esta captura de pantalla de las conferencias de Weinberg sobre QM
Interesante. Supongo que mi próxima pregunta es ¿dónde se vuelve útil tal fórmula? Si $\langle x | x \rangle$ siempre es igual a $1$ , entonces la fórmula solo es diferente de la más simple $P(y \rightarrow x) = |\langle x | y \rangle |^2$ en los casos en que no es 1. Supongo que simplemente no veo razón para tener ese producto en el denominador en lugar de simplemente asumir que es 1.
@OrangeSherbet Tienes razón, si los vectores están normalizados, entonces $\frac{1}{\sqrt{\langle y | y \rangle}} |y\rangle = |y\rangle$ , que da la versión que indicó. La notación del Sr. Alfred se generaliza para el caso en que no están normalizados.

usuario108787 · Answer 3

Lo siento, mi tableta se estaba cargando antes y el lápiz óptico estaba por todos lados.

Tienes más o menos la respuesta de bobak que yo habría escrito. Digamos que tienes la función normalizada más simple $Ae^{i\theta }$ . el conjugado $Ae^{-i\theta }$ se asegura de que te quedes con $A^2$ y no .5 A o 6A o cualquier cosa que arruinaría las probabilidades que suman 1, cuando luego necesitas expandir la función original en sus kets base, si me sigues, para obtener la probabilidad de que el sistema esté en un determinado estado propio.

Es solo la versión compleja conjugada del escalador/producto escalar. Digamos que tienes un vector $B = 5e_x + 6e_y+7e_z$ y desea extraer el componente de $e_y$ , entonces haces el producto escalar de $B.e_y$ y sale 6.

Así que reemplace el producto escalar con $\langle x | x \rangle$ y la componente 6 por la amplitud (sea cual sea).

Esta cosa $\langle x | x \rangle$ se deshace de las otras bases ya que $\langle x | y \rangle$ = 0 y mantiene intacta la amplitud asegurándose $\langle x | x \rangle$ = 1. Estoy mezclando funciones con variables en los kets pero creo que deberías tener la idea general cuando practiques un poco.

Espero que esto tenga sentido

Me gusta la idea de "dejar intacta la amplitud asegurándome $\langle x|x \rangle = 1$ ", parece que si fuera un número complejo, entonces las fases entre amplitudes para diferentes caminos no podrían compararse entre sí, ya que un camino en el que no ocurrió nada puede interferir arbitrariamente con otro camino en el que no ocurrió nada dos veces, por ejemplo. Tal vez esto está llegando a alguna parte?

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