Espacios de módulos de teorías de campo supersimétricas y sus singularidades

Question

Espacios de módulos de teorías de campo supersimétricas y sus singularidades

módulos
Física
supersimetría
teoría cuántica de campos

Steve

Soy un matemático haciendo un trabajo que está relacionado con $\mathcal N=2$ teoría cuántica de campos supersimétrica en $d=4$ y estoy un poco confundido acerca de la noción física de espacio de módulos en este contexto. Me disculpo de antemano si esta pregunta es demasiado básica, demasiado vaga o simplemente un poco estúpida. Las referencias a la literatura apropiada serían muy bienvenidas.

Al hojear artículos, hay al menos tres cosas a las que la gente se refiere como espacio de módulos:

el espacio de módulos de vacío supersimétrico,
la recopilación de todos los parámetros, como masas, constantes de acoplamiento, etc.,
el espacio de módulos de estructuras de Kähler complejas (modelo A) o el espacio de módulos de estructuras complejas (modelo B), ambos generalmente considerados en una variedad fija de Kähler o Calabi-Yau.

Pregunta. ¿Cuál es la relación entre estos diversos espacios de módulos? ¿Son lo mismo en algún sentido apropiado? Si son diferentes, ¿cuál es el que tiene una "rama de Coulomb"?

La impresión que tengo es que el espacio de módulos apropiado tiene algunos puntos singulares, en los que la teoría física correspondiente es especial (por ejemplo, ¿conforme?).

Pregunta. ¿Qué tipo de cosas buenas suceden con las teorías físicas correspondientes a puntos singulares del espacio de módulos? ¿Son estas las teorías que realmente nos interesan y los puntos genéricos corresponden a aproximaciones más calculables de estas teorías?

Respuestas (1)

Espacios de módulos de teorías de campo supersimétricas y sus singularidades

niño · Answer 1

Esta será una respuesta severamente incompleta, lo que es más importante, también soy nuevo en el tema, por lo que este es un entendimiento personal, no una respuesta definitiva, me disculpo por eso. Un par de buenas referencias sobre teorías 4d N=2 que conozco son [1,2].

Algunas respuestas iniciales:

P1) Los espacios de módulos de tipo 2 y 3 se pueden proyectar de la misma manera, el tipo 1 es algo diferente. La rama de Coulomb pertenece al tipo 1.

P2) Tienes razón, creo. A grandes rasgos, los puntos en los espacios de módulos corresponden a teorías de cierto tipo, con un cierto tipo de contenidos de campo, a medida que avanzamos en el espacio de módulos, genéricamente, solo varían algunos parámetros continuos de estas teorías, pero en los puntos singulares discontinuos. se producen cambios como:

el número de campos sin masa salta
Las teorías no conformes pueden volverse conformes.
en los casos en que podemos asignar algunos grupos de cohomología a las teorías, los grupos no cambian genéricamente bajo el movimiento a lo largo de los espacios de módulos, pero pueden cambiar en puntos singulares.

Ciertamente, los puntos singulares son más coloridos que un punto genérico, lo que más nos interesa puede, creo, variar de un problema a otro.

Comentarios sobre espacios de módulos de tipo 2 y 3 en su lista: cualquier teoría de campo se define con un conjunto de datos "estáticos", la idea es que dado un "tipo" fijo de teoría, hay un espacio de datos estáticos tal que cada punto de ese espacio define una teoría del mismo tipo.

Ejemplo 1:supongamos que estamos interesados en teorías de campos conformes (CFT) en alguna dimensión con algunos campos. El "tipo" en este caso se define por una representación del grupo conforme (reducible, que consta de un número infinito de representaciones irreducibles) con la estructura de un álgebra asociativa (llamada álgebra de expansión del producto del operador (OPE), el ejemplo incluye álgebras de operadores de vértice) . Si queremos CFT con cierta supersimetría debemos considerar representaciones del álgebra superconformal apropiada. Dada tal representación, los datos estáticos necesarios para identificar una CFT en particular es una colección de números, uno para cada estado de mayor peso de una determinada dimensión conforme (valor propio del operador de dilatación en el álgebra conforme). Estos números se denominan acoplamientos marginales y para cualquier elección arbitraria de estos números tenemos un CFT (no es cierto en general, los números correspondientes a un subconjunto del conjunto de pesos más altos pueden necesitar fijarse en cero por razones no visibles en el nivel estático ). Entonces, el espacio de datos estáticos en este caso, o equivalentemente el espacio de CFT, será (localmente homeomorfo a) $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ dónde $n$ es el número de estados de mayor peso de la dimensión de dimensión conforme particular (menos el número de dichos estados cuyas constantes de acoplamiento correspondientes deben establecerse en cero) y la elección de números reales o complejos depende de la teoría. [3]

Ejemplo 2: Supongamos que estamos interesados en el llamado "modelo sigma con torsión A en 2 dimensiones". Este es un tipo de teorías con cierto álgebra de supersimetría. Los datos estáticos en este caso son una elección de constantes de acoplamiento que están parametrizadas por el espacio de estructuras complejas de Kähler de alguna variedad de Kähler. [4]

Ejemplo 3: Reemplace "A-torcido" con "B-torcido", y "estructura Kähler de alguna variedad Kähler" con "estructura compleja de alguna variedad Calabi-Yau" en el ejemplo 2. [4]

El resumen aquí es que, dada un álgebra de simetría, puede haber una familia de teorías con ese álgebra de simetría, la familia está parametrizada por un espacio de módulos. Los puntos singulares son especiales, pueden tener una simetría ampliada.

Comentarios sobre el espacio de módulos de tipo 1 en su lista:Aparte de los datos estáticos, y considerablemente más difíciles de determinar, están los datos "dinámicos", estas son las cosas que podemos averiguar si podemos observar la evolución del sistema que se describe (una analogía en informática sería la diferencia entre el código de un programa (estático) y su salida (dinámico)). Un ejemplo omnipresente y particularmente importante de tales datos es el espacio de módulos de vacua. En situaciones en las que podemos asociar un espacio de Hilbert con nuestra teoría de campos, el espacio de vacío es simplemente el espacio de estados con la mínima energía posible. Una definición alternativa y más general de este espacio es en términos de "potencial efectivo". Todos los datos dinámicos de una teoría están contenidos en una entidad llamada "acción efectiva" que es un funcional de campos. La acción efectiva es esencialmente la acción clásica modificada por correcciones cuánticas (y en general imposible de calcular con exactitud, por lo que las excepciones son muy interesantes). Al igual que la acción clásica, la acción efectiva tiene dos partes, una parte "cinética" y una parte "potencial". La parte potencial es el potencial clásico con corrección cuántica. Si denotamos la parte potencial como $V(\phi)$ entonces las configuraciones de campo que minimizan el potencial constituyen el espacio de vacua. En teorías supersimétricas se puede demostrar que el mínimo del potencial es cero, es decir, el espacio de vacío es el espacio de solución a la ecuación $V(\phi) = 0$ . En las teorías de campos perturbativos, expandimos los campos en nuestra acción clásica alrededor de las soluciones de vacío. Así que si $\phi$ es un campo en nuestra teoría y $\phi_0$ es una solución a la ecuación del vacío, entonces definiremos $\widetilde\phi := \phi - \phi_0$ y considerar $\widetilde\phi$ como el campo dinámico de nuestra teoría. (Tenga en cuenta que en términos de $\widetilde\phi$ , el vacío está dado por $\widetilde\phi=0$ ). La esperanza es que a una energía lo suficientemente baja, la elección del vacío sea la característica dominante que gobierne la dinámica, todo lo demás puede tratarse como una perturbación. Si hay una familia de soluciones para la ecuación del vacío, dependiendo del vacío que elijamos para expandirnos, la dinámica de baja energía puede verse algo diferente. En este sentido, el espacio de vacío es el espacio de módulos de la descripción de baja energía de la teoría. Rama de Coulomb es el nombre de cierto subespacio del espacio de vacío supersimétrico en ciertas teorías supersimétricas (el nombre de rama de Coulomb se refiere a que si nos expandimos alrededor de un punto genérico de este subespacio, la teoría de baja energía que encontramos es un calibre abeliano teoría, como la teoría de Maxwell de la "fuerza de Coulomb"). Una nota final es que, por lo general, obtenemos un CFT solo en el origen de la rama de Coulomb, la simetría conforme se rompe en todas partes en la rama de Coulomb. [1,2]