Espacio de módulos de compactaciones toroidales

Question

Espacio de módulos de compactaciones toroidales

módulos
dualidad
Física
teoría de grupos
teoria de las cuerdas
compactación

acción mínima

Estoy tratando de entender algunas afirmaciones generales hechas en las notas de la conferencia de Vafa tituladas " Conferencias sobre cuerdas y dualidades " con respecto a las compactaciones toroidales ( arXiv:hep-th/9702201 ).

Pregunta 1 : Primero, considere la ~~cuerda heterótica (D = 10)~~ cuerda bosónica compactada en un toro $T^d$ . Se afirma en la página 12 que el espacio de elecciones no equivalentes de los momentos de movimiento a la izquierda y a la derecha $(P_L, P_R)$ está dada por la coset

\frac{S O (d, d)}{S O (d) \times S O (d) \times O (d, d; Z)}

$\frac{SO(d,d)}{SO(d) \times SO(d) \times O(d,d;\mathbb{Z})}$

Entiendo que esto es básicamente $\frac{SO(d,d)}{SO(d) \times SO(d)}$ modificado aún más por el grupo discreto de dualidad T $O(d,d;\mathbb{Z})$ que corresponde a Lorentz aumenta con coeficientes enteros. Sin embargo, en el texto principal se afirma que es $O(d) \times O(d)$ transformaciones que no cambian los estados de la cadena. Hablando estrictamente, ¿no deberíamos estar modificando $SO(d,d)$ por $O(d) \times O(d)$ en lugar de $SO(d) \times SO(d)$ ?

Pregunta 2 : Ahora considere $\mathcal{N} = 2$ teorías sobre $T^d$ .

La siguiente afirmación aparece en la página 13 sobre las teorías tipo IIA y tipo IIB:

Para una compactación más general en $T^d$ la parte del grupo T-dualidad que no intercambia las dos teorías es $SO(d,d;\mathbb{Z})$ ; los elementos de T-dualidad que están en $O(d,d;\mathbb{Z})$ pero no en $SO(d,d; \mathbb{Z})$ intercambiará IIA y IIB y, por lo tanto, no son simetrías de ninguno de los dos.

Entonces, ¿significa esto que el grupo de dualidad T consta de transformaciones que llevan IIA a IIB (y viceversa) pero también transformaciones que no llevan IIA a IIB y que las primeras corresponden a $O(d,d;\mathbb{Z}) \setminus SO(d,d;\mathbb{Z})$ ? Así que cuando los libros de texto hacen afirmaciones como $IIA \leftrightarrow IIB$ bajo T-dualidad, ¿realmente quieren decir bajo esta resta teórica de conjuntos?

Pregunta 3 : Esta pregunta, algo embarazosa, es más sobre notación que sobre física. En la página 13 de las mismas notas de clase, aparece el siguiente párrafo:

Al compactar cuerdas tipo II en toros, los escalares parametrizados por la clase lateral $SO(d,d)/SO(d) \times SO(d)$ corresponden a elecciones de la métrica del toro ( $d(d+1)/2$ grados de libertad) y el campo antisimétrico $B_{ij}$ en el toro ( $d(d-)1/2$ grados de libertad).

Aquí, ¿quiere decir el autor $\frac{SO(d,d)}{SO(d) \times SO(d)}$ o quiere decir $(SO(d,d)/SO(d)) \times SO(d)$ , es decir $\frac{SO(d,d)}{SO(d)} \times SO(d)$ ? Los dos son cosas muy diferentes.

De hecho, a menudo se refiere a cosas como $SO(5,5)/SO(5) \times SO(5)$ o $SO(5,5)/SO(5) \times SO(5) \times SO(5,5;\mathbb{Z})$ . ¿Cuál es el orden en que deben leerse/interpretarse?

danu

En respuesta a la pregunta 2:

O (d, d; Z) ∖ S O (d, d; Z)

$O(d,d;\Bbb Z)\setminus SO(d,d;\Bbb Z)$ no tiene mucho sentido (porque no has especificado en qué sentido consideras

S O

$SO$ como un subconjunto de

O

$O$ , es decir, cómo está incrustado). Las nociones relevantes aquí son subgrupos, no subconjuntos;

O ≅ Z_{2} ⋊ S O

$O\cong \Bbb Z_2\rtimes SO$ (las isometrías de las esferas se generan mediante rotaciones más un reflejo), y su pregunta está formulada correctamente en términos de estos subgrupos. Supongo que se traduce en preguntar si

det = - 1

$\det=-1$ elementos son las cosas que intercambian IIA y IIB, mientras que

det = 1

$\det=1$ los elementos la preservan.

danu

En respuesta a su última pregunta, parece que, en el contexto dado,

S O / S O \times S O

$SO/SO\times SO$ debe interpretarse como

S O / (S O \times S O)

$SO/(SO\times SO)$ .

acción mínima

Gracias @Danu por tu respuesta. ¿No es natural pensar que el grupo ortogonal contiene al grupo ortogonal especial como un subgrupo? ¿No es ese también el sentido implícito en este artículo cuando dice "los elementos de la dualidad T que están en

O (d, d; ℤ)

$O(d,d;\mathbb{ℤ})$ pero no en

S O (d, d; ℤ)

$SO(d,d;\mathbb{ℤ})$ intercambiará IIA y IIB "?

danu

El sentido implícito en el documento es el que describí anteriormente --- de la descomposición que les di, pueden ver que hay dos copias de SO dentro de O; no es natural sacar a uno de ellos, porque sacar complementos no es algo natural en el contexto de un grupo. Los elementos de O que no son elementos de SO son exactamente aquellos con

det = - 1

$\det=-1$ , y esta es una forma más natural de expresar tu intención.

Respuestas (1)

Espacio de módulos de compactaciones toroidales

En respuesta a la pregunta 2: $O(d,d;\Bbb Z)\setminus SO(d,d;\Bbb Z)$ no tiene mucho sentido (porque no has especificado en qué sentido consideras $SO$ como un subconjunto de $O$ , es decir, cómo está incrustado). Las nociones relevantes aquí son subgrupos, no subconjuntos; $O\cong \Bbb Z_2\rtimes SO$ (las isometrías de las esferas se generan mediante rotaciones más un reflejo), y su pregunta está formulada correctamente en términos de estos subgrupos. Supongo que se traduce en preguntar si $\det=-1$ elementos son las cosas que intercambian IIA y IIB, mientras que $\det=1$ los elementos la preservan.
En respuesta a su última pregunta, parece que, en el contexto dado, $SO/SO\times SO$ debe interpretarse como $SO/(SO\times SO)$ .
Gracias @Danu por tu respuesta. ¿No es natural pensar que el grupo ortogonal contiene al grupo ortogonal especial como un subgrupo? ¿No es ese también el sentido implícito en este artículo cuando dice "los elementos de la dualidad T que están en $O(d,d;\mathbb{ℤ})$ pero no en $SO(d,d;\mathbb{ℤ})$ intercambiará IIA y IIB "?
El sentido implícito en el documento es el que describí anteriormente --- de la descomposición que les di, pueden ver que hay dos copias de SO dentro de O; no es natural sacar a uno de ellos, porque sacar complementos no es algo natural en el contexto de un grupo. Los elementos de O que no son elementos de SO son exactamente aquellos con $\det=-1$ , y esta es una forma más natural de expresar tu intención.

Kosmo · Answer 1

Con respecto a la Pregunta 1, está hablando de cuerdas bosónicas, en lugar de heteróticas, ya que para las cuerdas heteróticas, los modos de movimiento hacia la izquierda y hacia la derecha se compactan en $T^d$ y $T^{16+d}$ (o viceversa). Ahora, para cuerdas bosónicas en $T^d$ el espacio de módulos debe ser

METRO = \frac{O (d, d; R)}{O (d; R) \times O (d; R) \times O (d, d; Z)}

$M=\frac{O(d,d;\mathbb{R})}{O(d;\mathbb{R})\times O(d;\mathbb{R})\times O(d,d;\mathbb{Z})}$ porque la condición de uniformidad es invariante bajo

O (d, d; R)

$O(d,d;\mathbb{R})$ transformaciones, y la fórmula de la masa

{metro}^{2} = 2 ({pag}_{L}^{2} + {pag}_{R}^{2}) + . . .

$m^2=2(p_L^2+p_R^2)+...$ es invariante bajo

O (d; R) \times O (d; R)

$O(d;\mathbb{R})\times O(d;\mathbb{R})$ transformaciones (ver libro de texto Becker, Becker, Schwarz, páginas 270 y 283).

Pregunta 2. Como ya respondió Danu, en las supercuerdas de tipo II, las transformaciones de $O(d,d;\mathbb{Z})$ con determinante $-1$ te lleva entre IIA y IIB (ya que cambian la quiralidad relativa de los fermiones), mientras que $det=+1$ Las transformaciones son simetrías dentro de IIA y IIB por separado (no cambian las quiralidades). Entonces, los espacios de módulos de ambas teorías de tipo II (compactados en un toro) son los mismos.

En cuanto a la Cuación 3, el cociente por un producto es el correcto.

PD Probablemente ya sepas las respuestas, pero lo dejaré aquí de todos modos.

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danu

danu

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danu

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