Pregunta sobre el espacio de módulos de una variedad de Calabi-Yau

Supongo que tienes que leer esto en el contexto de la teoría de la intersección . En una variedad de dimensión$2n$tenemos el$n$-th grupo de homología, que puede pensarse informalmente como generado por clases de equivalencia de$n$-subvariedades dimensionales. La intersección de dos de estos generalmente debería dar un conjunto discreto de puntos. Intuitivamente, el producto de intersección se puede considerar como el número de puntos en la intersección, pero no es exactamente lo mismo que la intersección teórica de conjuntos.

Para concretar esto, piensa en un género$g$Superficie de Riemann, que tiene dimensión 2. Su primer grupo de cohomología tiene rango$2g$, y como nuestros generadores$A$podemos tomar curvas alrededor de los agujeros y generadores$B$son curvas que abren un agujero.

$A_i$y$B_j$intersecan en un solo punto exactamente cuando$i = j$, de lo contrario no lo hacen. El valor real es una suma de las multiplicidades de la intersección, que se definen de manera bastante técnica, sobre todos los puntos de la intersección. Tenga en cuenta que, dado que estamos hablando de clases de homología, ni siquiera el número de puntos está bien definido. Al contar algunos puntos con multiplicidad negativa, aún podemos obtener un número definido de manera única. Como ejemplo ilustrativo, considere esta triple intersección en un toro:

Este debe tener el mismo valor que la intersección del gran círculo horizontal que cruza al otro una sola vez, y que es homólogo a este representante más ondulado. Ves que en todos menos uno de los puntos las multiplicidades de intersección se cancelan entre sí.