En la cuantificación canónica de campos, CCR se postula como (para el campo de bosones escalares):
En realidad, si elige cuantizar en un
caja, muchos problemas no surgirán, pero muchas simetrías no se pueden estudiar en esta aproximación, como la traslación y la rotación, por lo que esa no sería la ruta estándar, por lo que me pregunto cómo se conserva el rigor
en el formalismo en todo el espacio en lugar de en un modelo de caja o cilindro?
Ahora estoy comenzando a aprender QFT y sé poco sobre la formulación matemática de QFT, así que ayúdenme con estos problemas conceptuales.
Los objetos como en un QFT son estrictamente hablando "distribuciones de operadores". Se diferencian de los "operadores ordinarios" de la misma manera que las distribuciones difieren de las funciones. Solo si integra tales distribuciones de operadores en alguna región con algún peso ,
En una QFT libre, los vectores de estado pueden construirse como combinaciones de estados en el espacio de Fock: un oscilador armónico de dimensión infinita. Pero también puede representarlos a través de "onda funcional". Al igual que la función de onda en la mecánica cuántica no relativista depende de 3 coordenadas espaciales, un funcional de onda depende de una función completa, . Para cada configuración permitida de , hay un número complejo.
Sí, también se puede integrar sobre todas las funciones clásicas . También existe un objeto tipo delta de Dirac, el "delta-funcional" de Dirac, y generalmente se denota ,
La integración funcional es una especie de integración de dimensión infinita y la función delta es una función delta de dimensión infinita. Hay que tener cuidado con estos objetos, especialmente si integramos amplitudes que pueden tener amplitudes y especialmente si integramos sobre objetos curvos de infinitas dimensiones, como grupos de indicadores de infinitas dimensiones, etc. Puede haber sutilezas como anomalías.
Sí, el espacio de Hilbert de una QFT libre sigue siendo isomorfo al espacio de Hilbert habitual: hay una base contable. Pero estamos hablando solo de excitaciones de energía finita. Hay muchos "estados altamente excitados" que no son elementos del espacio de Fock: se necesitarían números de ocupación infinitos para todos los estados de una partícula. Físicamente, tales estados son inaccesibles porque la energía no puede ser infinita. Sin embargo, cuando se cambia la energía de un hamiltoniano a otro (por ejemplo, mediante operaciones simples como la suma del hamiltoniano de interacción), los estados de energía finita del primero pueden ser estados de energía infinita de este último y viceversa.
Así que hay que tener cuidado: el espacio de Hilbert de energía finita físicamente relevante se puede obtener a partir de algunos estados de números de ocupación infinitos en un hamiltoniano diferente, por ejemplo, aproximado. Todavía es cierto que el espacio de Hilbert relevante es tan grande como un espacio de Fock y tiene una base contable. Los estados "totalmente inaccesibles" que son deformaciones demasiado fuertes tienen un ejemplo o nombre importante: son "diferentes sectores de superselección".
Rigor es una palabra fuerte. La gente trató de definir un QFT rigurosamente, por AQFT, la teoría algebraica/axiomática de campos cuánticos. Estos intentos han fracasado en gran medida. No significa que no haya ningún "conjunto total de reglas" que QFT obedezca. En cambio, significa que no es útil ser quisquilloso cuando se trata de los nuevos problemas que surgen en QFT en relación con los modelos más comunes de la mecánica cuántica; tampoco es completamente apropiado pensar que un QFT es "exactamente como un modelo QM más simple", pero es igualmente inapropiado olvidar que es formalmente un objeto del mismo tipo. Formalmente, muchas cosas proceden exactamente de la misma manera y también hay cuestiones nuevas (sorpresas inesperadas que contradicen un "tratamiento formal") que tienen alguna explicación física y esa explicación hay que entenderla.
El hecho de que un QFT tenga infinitos grados de libertad es un problema tanto de IR como de UV. Entonces, incluso si coloca un QFT en una caja, no cambiará el hecho de que necesita funcionales de onda, funcionales delta y que hay sectores de superselección y estados inaccesibles desde el espacio de Fock. Por caja, solo regula las sutilezas de IR, pero todavía hay sutilezas de UV (los momentos, incluso en una caja, pueden ser arbitrariamente grandes). Esos pueden regularse colocando el QFT en una red. Esto tiene algunas ventajas, pero también algunas limitaciones.