¿Qué hay de malo en esta falsa derivación de "dilatación" de longitud?

Antes de comenzar, creo que se puede aclarar mucha confusión con la relatividad especial si usamos una convención estándar, así que voy a usar todas las cantidades "primadas" para representar las cantidades medidas en el$S^\prime$marco, y todas las cantidades no primadas para representar las mismas cantidades en el$S$marco. (En otras palabras, la cantidad$L$que el OP usa en su pregunta es a lo que me referiré como$L^\prime$. Me disculpo por esto, pero creo que hace que mi respuesta sea más fácil de entender).

Permítanme también escribir las transformaciones de Lorentz:

$$\begin{equation} \begin{aligned} &\text{(A)}\quad\Delta x^\prime = \gamma \left(\Delta x - v \Delta t\right)\\ &\text{(B)}\quad \Delta t^\prime = \gamma \left( \Delta t - \frac{v}{c^2}\Delta x\right)\\ \\ &\text{(C)}\quad\Delta x = \gamma \left(\Delta x^\prime + v \Delta t^\prime \right)\\ &\text{(D)}\quad \Delta t = \gamma \left( \Delta t^\prime + \frac{v}{c^2}\Delta x^\prime \right)\\ \end{aligned} \label{LT} \end{equation}$$

Y, por último, aclaremos la definición de longitud. Para un observador sentado en$S^\prime$, dado que el objeto está en reposo con respecto a él, su longitud$L^\prime$es simplemente la diferencia en las coordenadas, independientemente de cuándo$x_B^\prime$y$x_A^\prime$se miden el podria medir$x_B^\prime$, tomar un café y luego medir$x_A^\prime$y la diferencia le daría la longitud. Sin embargo, para un observador sentado en$S$, dado que el objeto se mueve con respecto a ella, ambos extremos$x_B$y$x_A$deben medirse simultáneamente en su marco de referencia ($S$) para que la diferencia sea la longitud$L$. (En otras palabras, si ella toma un café entre medir$x_B$y$x_A$, ¡el objeto se habría movido entre medidas!) Entonces, tenemos

$$L^\prime = x_B^\prime - x_A^\prime |_\text{ for any $\Delta t^\prime$}$$ $$L = x_B - x_A |_\text{ only when $\Delta t=0$}$$

Si entiendes esto, el resto de la respuesta es bastante simple. Consideremos, como has hecho, que el objeto que estamos midiendo está en reposo en el marco$S^\prime$, y su longitud se mide tanto desde$S$(en el que se mueve hacia la derecha con una velocidad$v$) y$S^\prime$en que está en reposo.

El observador en$S$requiere medir los extremos del objeto simultáneamente en su marco de referencia, ya que de lo contrario el objeto se movería entre mediciones. En otras palabras, para$(x_B - x_A)$para ser la longitud, requerimos que$\Delta t = t_B - t_A = 0$. Nota: no estamos poniendo ninguna condición en$\Delta t^\prime$. Puede que no sea (¡y no lo es!) cero. Dos observadores, moviéndose a cierta velocidad.$v$entre sí no coincidirán en eventos simultáneos .

Por lo tanto, necesitamos encontrar una relación entre$\Delta x$y$\Delta x^\prime$, cuando$\Delta t=0$. El error que ha cometido en su argumento es que se está relacionando$\Delta x$y$\Delta x^\prime$cuando$\Delta t^\prime=0$. Entonces, el error viene cuando dices eso.$\Delta x|_{\Delta t^\prime = 0} = L$, la longitud medida en$S$.

Nos referimos a las transformaciones anteriores y vemos que (A) es la transformación que debemos usar, ya que relaciona estas cantidades.

$$\begin{equation*} \begin{aligned} \Delta x^\prime &= \gamma \left(\Delta x - v \Delta t\right)\\ \Delta x^\prime|_{\Delta t = 0} &= \gamma \left(\Delta x|_{\Delta t =0} - v \Delta t|_{\Delta t = 0}\right)\\ \\ L^\prime &= \gamma L \end{aligned} \end{equation*}$$

Así, la longitud que mide un observador cuando está en reposo con respecto al objeto (es decir, sentado en$S^\prime$)$L^\prime$siempre es mayor que$L$, ya que, como bien señalas,$\gamma > 1$. Así, un observador sentado en$S$, con respecto al cual el objeto se mueve a velocidad constante medirá una longitud$L$que es más corto : contrato de longitudes !

"Esto se mide al mismo tiempo, por lo que Δ𝑡′=0" Este requisito de simultaneidad (de la medición de las posiciones de la parte delantera y trasera de la barra) solo se necesita en marcos en los que la barra se está moviendo. Entonces, su marco S' es un marco en el que la barra se está moviendo, y su marco S (en el que las medidas frontal y posterior no son simultáneas) es el marco en el que la barra está en reposo, porque la simultaneidad de la medición no es necesaria en este caso.

Entonces tus$\Delta x$es$L$(o$L_0$) y tu$\Delta x'$es la longitud de la varilla en el marco en el que se mueve. Desde$\gamma>0$esta longitud está claramente contraída!