¿Cómo saber si una métrica es curva?

Estaba leyendo sobre la métrica de Kerr (del libro de Sean Carroll) y algo que dijo me confundió.

Para empezar, la métrica de Kerr es bastante complicada, pero lo más importante es que contiene dos constantes: METRO y a . METRO se identifica como alguna masa, y a se identifica como momento angular por unidad de masa. Dice que esta métrica se reduce a un espacio plano en el límite METRO → 0 , y está dada por

d s 2 = − d t 2 + r 2 + a 2 porque 2 ⁡ θ r 2 + a 2 d r 2 + ( r 2 + a 2 porque 2 ⁡ θ ) d θ 2 + ( r 2 + a 2 ) pecado 2 ⁡ θ d ϕ 2

y r , θ y ϕ son coordenadas polares esféricas regulares.

Pero no entiendo por qué este espacio es obviamente plano. La métrica de Schwarzschild también contiene términos que involucran d t 2 , d r 2 , d θ 2 y d ϕ 2 pero es curvo. Siempre pensé que una métrica con elementos fuera de la diagonal implicaba un espacio curvo, pero claramente estaba muy equivocado.

Pregunta: ¿Cómo saber si una métrica es curva o no, a partir de sus componentes?

Respuestas (4)

Se sabe si un espacio (o espacio-tiempo) es curvo o no calculando su tensor de curvatura . O más inequívocamente uno de los escalares de curvatura (por ejemplo , Ricci o Kretschmann ) ya que estos no dependen del sistema de coordenadas, pero toda la información en los escalares también está contenida en el tensor de Riemann.

No es necesariamente obvio si una métrica dada es curva o plana. Puede tomar un espacio-tiempo perfectamente plano y expresarlo en algún sistema de coordenadas extraño, en el que la métrica tiene términos no constantes fuera de la diagonal. Es un ejercicio simple tomar un espacio plano y usar las leyes de transformación del tensor para la métrica, con alguna extraña transformación arbitraria de coordenadas que acabas de inventar. Verás lo que quiero decir.

¿Son escalares de curvatura porque calcular los tensores es más difícil? Pensé que la condición de que R = 0 correspondía a una métrica sin fuente? ¿O eso también está mal?
Es solo que los valores de los escalares son independientes de las coordenadas. Es posible que los escalares de curvatura desaparezcan y, sin embargo, el tensor de curvatura total no desaparezca. Un ejemplo de la última situación es la solución de Schwarschild en GR. Estás bien, R = 0 corresponde a soluciones sin fuente en GR, que no necesitan ser planas. Es el tensor de curvatura completo el que te dice si un espacio es plano o no y, de hecho, el tensor de curvatura para el espacio-tiempo de Schwarschild es distinto de cero. Pero R ≠ 0 implica curvatura inequívocamente.
En realidad, acabo de recordar, R = 0 en GR corresponde a cualquier fuente con ρ − 3 pags = 0 (de la huella de T m v ). La situación general libre de fuente es R m v = 0 , lo que por supuesto implica R = 0 también.

El espacio-tiempo plano se refiere aquí al espacio-tiempo de Minkowski escrito con las coordenadas esféricas (creo que uno de tus signos está mal en tu ecuación)

d s 2 = − d t 2 + d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 s i norte 2 θ d ϕ 2 .
donde la métrica es diagonal y tiene coeficientes constantes gramo m v = ( − 1 , 1 , 1 , 1 ) . Diría que las condiciones para un espacio-tiempo plano, en cuanto a su métrica, se refieren únicamente a su forma diagonal y constante (al menos constante)

eso no está bien. puedes encontrar transformaciones de las coordenadas t , X , y , z donde la métrica se vuelve no diagonal, pero aún describe el mismo espacio minkowskiano. En cuanto a que las entradas sean constantes, ¡el ejemplo que proporciona ya tiene coeficientes que varían según las coordenadas!

En el límite donde METRO → 0 , la métrica de Kerr se reduce a la forma de coordenadas esféricas de la métrica de Minkowski. En ese sentido, lo reconocemos y decimos que es 'obvio' que es plano. (La métrica de Schwarzschild también es plana en el límite METRO → 0 .)

Pero para mostrar que cualquier métrica dada es curva o no, tenemos que calcular un invariante de curvatura. Por ejemplo solemos calcular la curvatura de Ricci R = R i i = R k i k i donde el primero R es la curvatura de Ricci, la segunda R el tensor de curvatura de Ricci y el tercero R el tensor de Riemann. Si es 0 el espacio es curvo, de lo contrario no lo es. Carroll lo tiene en su libro.

Esto no es del todo correcto: si el tensor de curvatura de Riemann es idénticamente cero, la métrica es plana. Pero se puede curvar y aun así tener contracciones R m v = 0 o R = 0 . R m v = 0 solo te dice que no hay energía de estrés en ese punto del espacio-tiempo, pero aún podría haber una fuerte curvatura (por ejemplo, la métrica de Schwarzchild tiene R m v = 0 en todas partes excepto en la singularidad), y R = 0 solo le dice que el tensor de tensión-energía no tiene rastro en ese punto (por ejemplo, esto es cierto en cualquier espacio-tiempo lleno de un fluido dominado por la radiación).

Carroll señala que, después del límite (a=fixed,M->0) "reconocemos la parte espacial de esto como un espacio plano en coordenadas elipsoidales", por lo que para darse cuenta de que era un espacio plano por inspección, debe han sido conscientes del aspecto de una métrica plana en coordenadas elipsoidales, touche.

¿Cómo saber si una métrica es curva?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v