¿Es verdadera toda proposición relativa a un conjunto vacío? [duplicar]

Una cuantificación universal sobre el conjunto vacío siempre es verdadera. Alguien lo justifica diciendo 'no hay ningún elemento que haga falso al consecuente'. Eso es lo que llamamos una verdad vacía .

Quiero agregar algunos comentarios sobre este tema. Cuando me enseñaron por primera vez sobre la noción de verdad vacía, pensé que 'debe ser útil porque se garantiza que la proposición es siempre verdadera'. Pero resultó que una proposición vagamente verdadera no hace literalmente nada en una serie de argumentos porque no dice nada acerca de la verdad del consecuente, que es, por supuesto, el tema de nuestro interés. Entonces puedes tomarlo como 'la proposición no hace nada, pero al menos no causa ningún problema porque es verdadera de todos modos'. Entonces podemos olvidarnos del uso de la proposición y seguir deduciendo otra.

Dado que$P$Es falso,$P \to Q$es verdad pero la verdad de$Q$no está determinado.

El segundo comentario: pensé en un caso específico cuando una oración verdadera vacía hace algo significativo. Dado que

Supongamos que digo: todos mis sombreros morados se compran en línea. Ahora, supongamos también que no tengo sombreros morados. ¿Eso hace que mi afirmación sea verdadera o falsa?

Bueno, suponga que tiene tres sombreros morados y los compró todos en línea. Es decir: los tres sombreros morados que tiene se compraron en línea, y no tiene un sombrero morado que no se haya comprado en línea: no hay excepción a la afirmación. O, diferente aún: la cantidad de sombreros morados que tienes (tres) es igual a la cantidad de sombreros morados que tienes que se compraron en línea (también tres).

Para mí: Todos los sombreros morados cero que tengo se compran en línea; De nuevo, no hay excepción a esto: no tengo ningún sombrero morado que no haya comprado en línea. Y de nuevo: la cantidad de sombreros morados que tengo (cero) coincide con la cantidad de sombreros morados que tengo que compré en línea (también cero). Entonces: todos los sombreros morados que tengo se compran en línea.

Por supuesto, también es cierto que esa cantidad de sombreros morados que tengo que no se compran en línea también es cero, por lo que todos los sombreros cero que tengo no se compraron en línea, es decir, también es cierto que cada sombrero púrpura que tengo no se compra en línea.

De hecho, puedes rellenar lo que quieras. Por ejemplo: ¡cada sombrero morado que tengo tiene 3 dedos!

Sería vagamente cierto. Las tautologías aparecen cuando su sistema$\Sigma$, se toma como vacío. Más información se puede encontrar aquí Verdad vacía

Cada declaración que dice "Para cada miembro$x$del conjunto vacío. . ." es verdadera. Pero no todas las afirmaciones sobre el conjunto vacío son verdaderas. "El conjunto vacío es infinito." no es verdadera.

Dejar predicar$t_3 (x)$denota que$x$tiene$3$dedos de los pies.

Por lo tanto, no hay$x$que pertenece al conjunto vacío y que no tiene$3$dedos de los pies.