¿Cómo traduzco esta oración con lógica de predicados?

Tus dos primeras traducciones son correctas, aunque no necesitas la$x \not = y$(dado que$x$no se trata a sí mismo, mientras$y$trata$x$, lógicamente se sigue que$x \not = y$, por lo que puede eliminar eso ... de todos modos, tampoco se indica explícitamente en la oración original.

Más importante aún, no me gusta cómo estás poniendo el cuantificador para el$y$al principio de la declaración. Es decir, creo que una traducción más legible para la primera declaración habría sido:

$$\forall x ((Dx \land \neg Txx) \rightarrow \exists y (Dy \land Tyx))$$

y para la segunda oración:

$$\forall x ((Dx \land \neg Txx) \rightarrow \neg \exists y (Dy \land Tyx))$$

De hecho, creo que su inclinación a tratar de poner cuantificadores al comienzo de la declaración es exactamente lo que lo mete en problemas con la tercera oración también. Es decir, para esa tercera oración... o al menos la parte que indicaste... quieres mover el cuantificador aún más adentro... dentro de la negación de hecho.

¿Por qué? Bueno, 'no todos' significa efectivamente 'no todos', y por lo tanto obtienes algún tipo de$\neg \forall$. Para ser específico, para traducir eso '$x$no trata a todo el mundo' deberías obtener:

$$\neg \forall y \ Txy$$

y así para 'si$x$es un médico que no se trata a sí mismo, entonces no trata a todos' obtienes:

$$\forall x ((Dx \land \neg Txx) \rightarrow \neg \forall y \ Txy)$$

Entonces, al dividir la declaración poco a poco, los cuantificadores terminan automáticamente en el lugar correcto, incluso si no es al comienzo de la oración. Y eso está bien y, a menudo, es mucho más fácil para fines de traducción. Y si, para algún otro propósito, necesita los cuantificadores al comienzo de las declaraciones, siempre puede hacerlo después. En resumen: ¡no sientas la necesidad de ponerlos todos al principio, sino preséntalos cuando sea apropiado mientras descompones la oración!

Ahora, ¿puedes ver cómo modificar la última traducción para obtener la tercera oración completa?