¿Es válido utilizar el Test de Series Geométricas para Series de Potencias?

Question

¿Es válido utilizar el Test de Series Geométricas para Series de Potencias?

Matemáticas
serie de poder
series geométricas
secuencias y series

slecker

Mi libro de texto (Early Transcendentals 8th e., James Stewart) aconseja que, en general, para encontrar el intervalo de convergencia de una serie de potencias debemos usar las Pruebas de Razón o Raíz. Sin embargo, descubrí que el intervalo de convergencia también se puede encontrar aplicando la prueba de series geométricas: tome el valor absoluto de la "razón común", configúrelo en menos de $1$ , y resolver para $x$ .

Por ejemplo,

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{X^{norte}}{{norte}^{4} 4^{norte}} = \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{4}} (\frac{X}{4})^{norte}

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^44^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} (\frac{x}{4})^n$

La "razón común" es $r= \frac{x}{4}$ ya que es el factor elevado a la potencia $n$ .

Una serie geométrica converge cuando $|r| < 1$

| \frac{X}{4} | < 1

$|\frac{x}{4}| < 1$

- 1 < \frac{X}{4} < 1

$-1 < \frac{x}{4} <1$

- 4 < X < 4

$-4 < x < 4$

Lo que produce el mismo intervalo de convergencia que cuando se usa la Prueba de Razón.

Descubrí que esto también funcionó para las otras series de potencia presentadas en esta sección.

Soy consciente de que la serie de potencias del ejemplo NO es una serie geométrica porque el coeficiente de la serie, $c_n = \frac{1}{n^4}$ no es constante como $n\rightarrow\infty$ y por lo tanto en realidad no tiene una razón común ya que $r$ cambia según los términos de la serie que se utilicen para calcularla. De hecho, ninguna de las series de potencias en esta sección eran series geométricas porque ninguna tenía un coeficiente constante ni una verdadera razón común, por lo que no estoy seguro de por qué la Prueba de series geométricas parecía funcionar para la serie de potencias presentada.

¿Es válido usar la prueba de series geométricas para encontrar el intervalo de convergencia para series de potencias? Si es así, ¿por qué si no todas las series de potencias son series geométricas?

Respuestas (1)

¿Es válido utilizar el Test de Series Geométricas para Series de Potencias?

Ríos McForge · Answer 1

A pesar de que lo llama la "prueba de la serie geométrica", el argumento real que describe su prueba es claramente la prueba de la razón:

Por ejemplo,

$\sum_{n=1}^∞ \frac{x^n}{n^4 4^n} = \sum_{n=1}^∞ \frac{1}{n^4} \left( \frac{x}{4} \right)$

La "razón común" es $r = \frac{x}{4}$ ya que es el factor elevado a la potencia $n$ .

Aquí, $a_n = \frac{x^n}{n^4 4^n}$ , por lo que la aplicación de Ratio Test da

r = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{a_{norte + 1}}{a_{norte}} = (\frac{X}{4}) \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{{norte}^{4}}{(norte + 1)^{4}} = \frac{X}{4} .

$r = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{x}{4} \right) \lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{(n+1)^4} = \frac{x}{4}.$ Tanto la prueba de la razón como la prueba de la raíz se basan ( y se prueban a través de ella ) en la condición de convergencia de una serie geométrica. Por lo tanto, no sorprende que "pretender que la serie es geométrica" funcione cuando el factor de complicación es una función racional de

n

$n$ como

\frac{1}{n^{4}}

$\frac{1}{n^4}$ , ya que ese factor multiplicará el límite por 1 en la prueba de la razón o en la prueba de la raíz.

Dada su explicación, ¿es válido usar la prueba de la serie pseudo geométrica como un atajo para evaluar series de potencias en lugar de usar las pruebas de la razón o la raíz?
Es una buena heurística si los coeficientes en la serie $\sum c_n x^n$ son de la forma $c_n = \frac{p(n)}{q(n)} a^n$ , dónde $p(n)$ , $q(n)$ son polinomios. Sin embargo, podría fallar al determinar la convergencia en los puntos finales; y escribiría correctamente la prueba Ratio/Root completa si estuviera respondiendo una pregunta sobre un HW o una prueba :)

¿Es válido utilizar el Test de Series Geométricas para Series de Potencias?

slecker

Respuestas (1)

Ríos McForge

slecker

Ríos McForge

slecker

¿Cómo puedo evaluar ∑∞n=0(n+1)xn∑n=0∞(n+1)xn\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n?

¿Por qué no se puede usar la prueba de la razón para series geométricas?

Resolver una ecuación formal en serie de potencias

Un invariante útil que representa el "tamaño" de un subgrupo multiplicativo de Q+Q+\Bbb Q^+

Serie geométrica de a=2a=2a = 2, r=2r=2r = 2

Hallar la suma de series infinitas

Expansión binomial generalizada de (1+x)y(1+x)y\left(1+x \right)^{y}

Series que suman log(2)??

Comparar coeficientes en una serie

Demostración del radio de convergencia para series de potencias