¿Es un "lanzamiento justo de la moneda" una contradicción lógica?

No estoy seguro de estar completamente de acuerdo con tu análisis.

Primero, y quizás algo pedante, notemos que aunque la aleatoriedad tiene una definición precisa en ciertas teorías matemáticas, por ejemplo, la teoría de la información, donde definimos la aleatoriedad como la incapacidad de comprimir información, en un contexto filosófico la aleatoriedad no tiene una definición precisa. Además, no está nada claro que la aleatoriedad exista en la realidad. Por ejemplo, existen interpretaciones deterministas de la teoría cuántica. Así que sigamos con la imprevisibilidad .

En la práctica, no creo que ninguna irregularidad en la composición de las monedas, es decir, que la moneda tenga algo más que el centro de gravedad ideal, tenga un efecto real sobre la previsibilidad del resultado de un lanzamiento individual o una secuencia de lanzamientos. Esto se debe a que otros factores, como la fuerza del lanzamiento y la naturaleza binaria del resultado, anularían cualquier sesgo atribuible a la desigualdad. El resultado estaría completamente determinado por la orientación original de la moneda, las fuerzas iniciales netas ejercidas y las características de la superficie de aterrizaje. Para que cualquier irregularidad desempeñe un papel en la determinación del resultado, necesitaríamos un número casi astronómico de rotaciones de la moneda, lo que, por supuesto, no es el caso en la práctica.

Por lo tanto, diría que es posible lograr un resultado impredecible para un solo lanzamiento. Si la irregularidad de la moneda no influye en el resultado de un lanzamiento individual, no puede influir en el resultado de una secuencia de lanzamientos. Cualquier sesgo que pueda manifestarse debe ser un sesgo en aquellos factores que determinan el resultado.

Puedes cargar un dado pero no puedes sesgar una moneda

Parte de su pregunta sobre la "historia" del lanzamiento de una moneda se basa en la idea de que esa "equidad", que generalmente se define como la falta de sesgo en un instrumento para producir ciertos resultados en lugar de otros, es particularmente difícil, y usted podría necesitar ir a grandes (si no imposible) longitudes para producir una verdadera equidad.

Como señala el artículo vinculado anteriormente, en realidad es notablemente difícil (y para algunas definiciones incluso imposible) sesgar realmente una moneda. No necesita una superficie uniforme, un metal elemental puro o una distribución homogénea y plana de átomos: una moneda con bultos deformados servirá.

Golpéalo, golpéalo con un martillo, cúbrelo con cualquier materia o marcas extrañas, infórmale toda la historia que quieras. Mientras no permita que la moneda rebote como parte de su lanzamiento experimental, o use una estrategia particular de lanzamiento de monedas 'injusta' (como lanzar la moneda para que nunca se lance en el aire), terminará con un moneda justa independientemente.

La razón de esto está en el corazón de lo que significa probabilidad, y en la mayoría de las definiciones esto es directamente una noción de incertidumbre. No es una cuestión de "cara o cruz", sino que "va a salir cara o cruz, y ambas son igualmente probables, pero no sabremos cuál es hasta que haya sucedido".

Experimentalmente, debido a que resulta que las monedas son notablemente difíciles (y con un buen procedimiento, casi imposible) de sesgar, los primeros matemáticos (y los jugadores sofisticados) fueron capaces de abordar tanto teórica como experimentalmente las nociones de incertidumbre, probabilidad, riesgo, verosimilitud y la todo un campo que luego se convertiría en estadística.

Pero debajo de todo está tratando de lidiar con la incertidumbre: hay algo que no sabemos. Tenga en cuenta que esto no requiere, ni implica, una incertidumbre absoluta e intratable, que no podamos aprender más y, por lo tanto, mejorar nuestra predicción (posiblemente hasta el 100% de precisión). Simplemente significa que dado un cierto estado de conocimiento incompleto, sabemos algunas cosas y otras no, y algunas cosas se pueden inferir y otras no.

La noción de "equidad" se da como una suposición en algunos contextos matemáticos, pero en tratamientos más sofisticados o en profundidad de varias áreas de la estadística, tal noción se elimina. De hecho, si algo no es justo, por definición, no se comportará de la misma manera que una moneda injusta, y muchas técnicas estadísticas son un intento de lidiar con esto. ¡Una gran cantidad de técnicas experimentales estadísticas tienen como objetivo intentar determinar si una moneda es justa o no!

Jugar con suposiciones está en el corazón de muchos métodos estadísticos. Si asumimos que la moneda es justa, entonces asumimos que ciertos resultados son bastante típicos y otros son tan increíblemente raros que si los encontramos tenderíamos a rechazar la idea de equidad. Una moneda lanzada 1000 veces que siempre sale cara, por ejemplo, ¡teóricamente sigue siendo un posible resultado de una moneda justa! Es un resultado tan extraño que podemos rechazar cómodamente la idea de equidad, aunque no hayamos probado nada al 100%. Esta es la base para la "prueba de hipótesis nula", que es una pequeña herramienta bastante útil. Uno nunca puede insistir en que sabe algo con certeza, pero al menos podemos saber cuándo las probabilidades están a nuestro favor.

Al final, no necesitas una caja de aleatoriedad mágica que sea imposible de predecir. Solo necesitas incertidumbre. Y esta es la verdadera causa de la falacia del jugador: una creencia incorrecta de que sabes algo útil sobre cómo predecir el futuro, cuando resulta que simplemente no lo sabes. Resulta que los humanos tenemos muchas intuiciones sobre cómo lidiar con la incertidumbre que también están fuera de lugar. Si está interesado en estas clases de errores, le recomiendo los libros "Against the Gods: The Amazing History of Risk" y "Predictably Irrational", que ofrecen absolutamente docenas de otros ejemplos sobre cómo nuestros enfoques intuitivos del riesgo, la incertidumbre y la probabilidad son raros, equivocados o simplemente incorrectos.

Puede tener un lanzamiento aleatorio justo con fotones y dos detectores.

Primero, repita el experimento M veces para asegurarse de que la "moneda" es "justa" dentro de un umbral predeterminado. Luego, seleccione el resultado del experimento para el N-ésimo fotón, donde N estaba predeterminado de antemano.

La parte interesante de esta pregunta, al menos para mí, es que no hay forma de distinguir de qué lado de la moneda salió cara.

Pero tampoco podrías hacer esto cuando estaba entre tus dedos antes de lanzarlo.

En principio, podría simplemente seguir el movimiento de la moneda lanzada con una cámara de alta velocidad; y luego mire la película en su tiempo libre para ver hacia dónde ha caído.

Pero esto tendría que hacerse continuamente para que tuviera un significado estable: si la cámara 'miraba hacia otro lado' por un momento, entonces uno había perdido la pista.

Esto lo convierte en una paradoja de la epistemología sujeto-objeto; en el sentido de una dicotomía de observación o medida continua/discreta que interesa de otra manera.

Ha habido algunos estudios sobre esto.

Los centavos estadounidenses están bastante sesgados. Al girarlos, termina con el 80% mostrando la misma cara. Sin embargo, si se voltea bastante, la misma cara aparece solo el 51% del tiempo.

Del mismo modo, puede sesgar la moneda en otro 1% más o menos si controla cómo la lanza .

Sin embargo, al final del día, mi respuesta sería que la pregunta tiene una suposición. Asume que justo es lo mismo que perfectamente justo. Si dos personas están apostando, pueden cambiar su apuesta y no saben qué lado está sesgado, entonces es justo. Si el margen de error de la equidad no es científicamente alto, entonces es justo.

En Australia, por convención, al comienzo de un partido deportivo, el árbitro lanza una moneda y se anuncia el bando mientras está en el aire. Incluso si un capitán sabe qué lado está sesgado, solo obtiene una ventaja del 1%, lo que difícilmente podría describirse como injusto. La "equidad" en el lanzamiento de la moneda generalmente se usa para afirmar que no hay trucos para lanzar una moneda (como sentir la superficie, echar un vistazo al resultado o "lanzarla" de tal manera que solo parezca que lo hace).

Debo señalar que, incluso si se parte de una moneda sesgada (en el sentido de que la probabilidad de sacar cara siempre es P, cruz siempre 1-P, pero no necesariamente iguales), siempre es posible sintetizar un lanzamiento para los cuales cara y cruz tienen igual probabilidad. El procedimiento es simple: lanzar la moneda dos veces seguidas; si los dos lanzamientos muestran la misma cara, descarta los resultados y repite el proceso. Eventualmente, uno arrojará dos caras diferentes en sucesión. Usa 'cara' para referirte a la secuencia cara-cruz, 'cruz' para referirte a la secuencia cruz-cara. Claramente, la probabilidad de 'cara' en cualquier par de lanzamientos es P(1-P) y la probabilidad de 'cruz' es (1-P)P, y ambos son iguales. Repitiendo hasta obtener un par de caras desiguales,

Bueno, técnicamente, el lanzamiento de una moneda no es "aleatorio". Lance una moneda con la misma fuerza en la misma dirección con el mismo entorno y siempre caerá de la misma manera.

La cuestión es que la fuerza con la que giras, la dirección y mil cositas son "aleatorias", e interactuarán aleatoriamente con la moneda.

Ahora, "al azar" son los ojos del espectador en este nivel; Afirmo que la fuerza que aplico a la moneda es más o menos aleatoria porque no tengo un control perfecto sobre mis músculos. Se podría decir que, técnicamente, alguien podría entrenarse a sí mismo para usar siempre la misma cantidad de fuerza (hasta, digamos, el vigésimo dígito decimal) para que el lanzamiento de la moneda ya no sea aleatorio, sino realmente determinista.

Pero la realidad es, en algún nivel fundamental, aleatoria; Se necesita la mecánica cuántica para siquiera comenzar a entender esta afirmación (y no estoy afirmando que lo haga), pero ciertamente hay algo de aleatoriedad fundamental en el universo.

Para recapitular: si algo es aleatorio realmente depende de quién lo juzgue. Con más control y precisión, puede disminuir la aleatoriedad, pero solo hasta cierto punto, porque el universo es esencialmente aleatorio.

Creo que la fuente del "problema" es la tercera oración. "Para restaurar la imprevisibilidad, la moneda debe diseñarse para lograr el equilibrio y la resistencia ideales". en cuyo caso nos quedamos con una "moneda sin rostro". ¡Esta conclusión es totalmente errónea! El único requisito es que la moneda esté equilibrada con respecto a un plano paralelo a la cara de la moneda y que pase por el centro de gravedad de la moneda. Esto significa que podemos poner sangrías en cada cara diferentes pero equivalentes . Por ejemplo, haría una muesca cuadrada en un lado de la moneda y 4 muescas (1/4 de tamaño) en el otro lado. De esta manera el "equilibrio" no se ve afectado y las caras son distinguibles.