Estudio física a nivel de pregrado. Desde el principio, he sido una persona que pensó que las matemáticas eran 'lógicas' y, como tal, sus aplicaciones al mundo no son realmente una sorpresa ya que las matemáticas son tan 'evidentes'. Pero estoy empezando a cuestionar esto.
El tipo de cosas que son evidentes en matemáticas son las que se relacionan con los números naturales. Pero creo que se vuelve más complicado cuando uno intenta interpretar lo que significa $5^frac{1}{\pi}$. Para empezar, $\pi$ es un número irracional, y la exponenciación irracional es tan poco intuitiva, en mi humilde opinión. $5^pi$ es ese número cuya pi'ésima raíz es 5, creo que es una locura.
O tome cosas como la exponenciación negativa, que parece definida artificialmente para hacer que cosas como $e^{x}e^{-x}=1$ sean verdaderas. Para dar un ejemplo más concreto, cuando resuelves una ecuación diferencial que involucra un sistema masa-resorte, tu solución puede tener números complejos, que serán reducibles a senos y cosenos pero, sin embargo, habla de números complejos que parecen definidos artificialmente. .
Así que actualmente tengo problemas sobre cómo interpretar mi relación con las matemáticas. ¿Cómo interpretar la facilidad con que se aplica al mundo? ¿Como algo evidente o como algo que es una propiedad del mundo? Solía ver las matemáticas como una especie de juego de ajedrez, pero estoy empezando a pensar que verlas como una ciencia es más adecuado, donde en realidad hacemos experimentos y observamos, y cada nueva aplicación de las matemáticas al mundo es una gran sorpresa y no evidente.
Gracias por aguantarme. Creo que tengo más pensamientos sobre esto, pero una publicación larga podría ser bastante tediosa.
¿Cómo interpretar la facilidad con que se aplica al mundo?
A los humanos les ha llevado tantos años desarrollar las matemáticas y todavía continúa y continuará. Puede parecer muy fácil ahora usar las matemáticas en nuestra vida diaria, pero hemos alcanzado esa etapa de facilidad durante un largo período de tiempo debido a algunos pensamientos muy profundos de muchas personas durante este largo período de tiempo. Entonces, para responder a su pregunta, debe interpretar la facilidad como resultado de una enorme cantidad de esfuerzo durante un largo período de tiempo. Esto me recuerda una cita: "De pie sobre los hombros de gigantes".
¿Como algo evidente o como algo que es una propiedad del mundo?
Cuando algo (en este caso las matemáticas) se convierte en parte de nuestra vida diaria en términos de lo fácil que es de usar en nuestro día a día y lo "obvio" que parece, junto con el hecho de que somos capaces de describir muchos fenómenos alrededor Al usar matemáticas (Ejemplo: física), tendemos a comenzar a creer que "lo que sea" que creó este mundo debe estar basado en las mismas matemáticas a las que estamos acostumbrados. En mi humilde opinión, esto es solo un sesgo cognitivo de los humanos. El universo no se basa en las matemáticas, sino que desarrollamos una herramienta/lenguaje llamado matemáticas que se adapta a nuestras capacidades cognitivas y sus limitaciones y nos permite comprender y explorar el mundo que nos rodea.
Eso depende de lo que creas que son las matemáticas.
Desde un punto de vista intuicionista, las matemáticas son el estudio de las idealizaciones humanas. Y no hay una buena razón para sorprenderse de que, después de millones de años de prueba y error, desarrollemos una intuición realmente fuerte que nos permita comprender gran parte del mundo natural. Ni que una vez que tuviéramos el lenguaje y el tiempo adecuado para morar en nuestro interior, no seríamos capaces de desentrañar esas intuiciones en formas de lenguaje precisas durante miles de años.
La economía de las matemáticas a veces me sorprende: tantas partes de ella son en realidad solo otras partes en formas variantes. Pero culparía de eso al hecho de que estamos en un rincón muy ordenado del universo, en comparación con lo que podría ser.
Si piensas que las matemáticas son de alguna manera independientes de la psicología humana, y no el conjunto colectivo de herramientas de modelado a su disposición, entonces el encuentro consistente de hecho y forma se vuelve mucho más místico. Pero entonces ese gran misterio se convierte en un buen motivo para cuestionar esa independencia.
Desde ese ángulo, las convenciones que encuentras tan extrañas, son en gran medida solo eso, convenciones, si las elaboramos durante generaciones, y prácticamente nacimos para hacerlas. La idea de que podemos pensar en la multiplicación de números complejos como escala y rotación tiene mucho que ver con la relativa escasez de nuestros propios modelos simples de movimiento, y no tanto con la realidad independiente. Después de todo, realmente queríamos órbitas planetarias circulares. Cuando queremos modelar ondas, nos esforzamos por asegurarnos de que se expresen en términos de los componentes de una rotación. Y cuando decidimos modelar partículas, 'encontramos' que tienen inercia rotacional, a pesar de que su rotación tiene que ser de 720 grados, y actúa relativamente poco como una rotación real. Una vez que dejas que la verdadera incomodidad de esa noción lo hunda,
Si procede paso a paso, pasando de '2 potencia 4' pasando por '2 potencia 3/4' a '2 potencia pi' e incluso a '2 potencia i' (exponenciación con exponente imaginario puro), probablemente se detendrá en cada nuevo tipo de abstracción. Cada vez intentará pedirle a su poder de imaginación la plausibilidad de la operación y el resultado. Por ejemplo, trate de visualizar
e**(i*pi)= -1.
La vista cambia cuando consideras toda la función exponencial en una sola, es decir, exp: Números reales ---> Números reales, definidos como exp(x):= e potencia x. Aparentemente, esa es una función continua e incluso diferenciable definida para todos los argumentos reales. Pero aún más: sin ningún problema puedes extender el dominio de definición al conjunto de números complejos, por ejemplo, considerando la expansión en serie de potencias de la función exponencial. Por lo tanto, lo que uno considera plausible depende del nivel que ya se haya alcanzado en el campo en cuestión.
No considero los números complejos definidos artificialmente. Y para mí no es necesario legitimar exponenciaciones complejas por reducción vía exp(iz) = cos z + i sin z a funciones trigonométricas. Considero que una idea profunda de Gauss es que únicamente al introducir un solo número imaginario 'i', los números complejos se derivan como z = x + iy y cada polinomio obtiene tantos ceros como indica el grado del polinomio.
Las matemáticas no son evidentes. Porque la evidencia siempre depende del grado de familiaridad con el tema y de la profundidad con la que se haya penetrado en el problema planteado. Por qué las matemáticas sirven para resolver problemas del mundo real sigue siendo una pregunta abierta, véase el artículo de Wigner citado en el comentario de Alexis.
Las matemáticas se aplican tan fácilmente al "mundo real" porque se desarrollaron precisamente con el propósito de resolver "problemas" abstraídos de lo específico.
alexis
DLV
furia estoica
volker siegel