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En la Figura-01 anterior, un sistema inercialS′
se traduce con respecto al sistema inercialS
con velocidad constante
υυ= (υ1,υ2,υ3)= ∥ υ ∥ =υ21+υ22+υ23−−−−−−−−−−√∈ ( 0 , c )(02a)(02b)
La transformación de Lorentz es
X′Ct′γ= x +γ2C2( γ+ 1 )( υ ⋅ X ) υ -γυCCt= γ( dot -υ ⋅ xC)=( 1 -υ2C2)−12(03a)(03b)(03c)
Para la transformación de Lorentz(03a)
-(03b)
, los vectoresmi
yB
del campo electromagnético se transforman de la siguiente manera
mi′B′= γmi -γ2C2( γ+ 1 )( mi ⋅ υ ) υ+γ( υ × segundo )= γsegundo- _γ2C2( γ+ 1 )( segundo ⋅ υ ) υ -γC2( υ × mi )(04a)(04b)
Ahora, si en el sistema
S
tenemos
B = 0
, luego de
(04a)
-
(04b)
mi′B′= γmi -γ2C2( γ+ 1 )( mi ⋅ υ ) υ= −γC2( υ × mi )(05a)(05b)
Ecuación
(05b)
corresponde a la ecuación de Tong (queda por explicar el signo menos).
De ecuaciones(05a)
-(05b)
tenemos
B′= −γC2( υ × mi ) = −1C2( υ × γmi )= −1C2( υ×[γmi -γ2C2( γ+ 1 )( mi ⋅ υ ) υ ] ) =-1C2( υ ×mi′)
eso es
B′= −1C2( υ ×mi′)(06)
Ecuación
(06)
corresponde a la ecuación de Griffiths.
Basado en ecuaciones(04a)
,(04b)
hemos probado que
B = 0===⟹(04a) , (04b)B′+1C2( υ ×mi′) = 0(06.1)
Pero podemos probar la validez de su inversa
B′+1C2( υ ×mi′) = 0===⟹(04a) , (04b)B = 0(06.2)
Entonces estas condiciones son equivalentes
B = 0⟸==⟹(04a) , (04b)B′+1C2( υ ×mi′) = 0abab(06.3)
Ecuación
(06.2)
es válido porque
B′+1C2( υ ×mi′) =γ− 1B⊥+B∥(06.4)
dónde
B∥,B⊥
los componentes de
B
paralela y normal al vector velocidad
υ
respectivamente.
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APÉNDICE
Si en el sistemaS
tenemosmi = 0
, luego de(04a)
-(04b)
mi′B′= γ( υ × segundo )= γsegundo- _γ2C2( γ+ 1 )( segundo ⋅ υ ) υ(07a)(07b)
de modo que
mi′= γ( υ × segundo ) = ( υ × γsegundo )= υ × [ γsegundo- _γ2C2( γ+ 1 )( segundo ⋅ υ ) υ ] =υ×B′
eso es
mi′= υ ×B′(08)
Basado en ecuaciones(04a)
,(04b)
hemos probado que
mi = 0===⟹(04a) , (04b)mi′− ( υ ×B′) = 0(08.1)
Pero podemos probar la validez de su inversa
mi′− ( υ ×B′) = 0===⟹(04a) , (04b)mi = 0(08.2)
Entonces estas condiciones son equivalentes
mi = 0⟸==⟹(04a) , (04b)mi′− ( υ ×B′) = 0abab(08.3)
Ecuación
(08.2)
es válido porque
mi′− ( υ ×B′) =γ− 1mi⊥+mi∥(08.4)
dónde
mi∥,mi⊥
los componentes de
mi
paralela y normal al vector velocidad
υ
respectivamente.
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La transformación de dualidad del campo electromagnético se produce por los reemplazos
CmicB _−−⟶−−⟶- c segundo- cmi(09)
Estos reemplazos deben hacerse también en el sistema cebado.
Cmi′CB′−−⟶−−⟶- cB′- cmi′(09')
En lo anterior encontramos pares de ecuaciones o expresiones duales, es decir bajo una transformación de dualidad se transforman una a la otra:
(04a)(06)(06.3)(06.4)⟵−⟶dualidad _ _ _ _ _ _⟵−⟶dualidad _ _ _ _ _ _⟵−⟶dualidad _ _ _ _ _ _⟵−⟶dualidad _ _ _ _ _ _(04b)(08)(08.3)(08.4)(10)
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ecuaciones(06)
y(08)
son las siguientes ecuaciones(12.109)
y(12.110)
respectivamente
B−−= −1C2( v ×mi−−) .abab(12.109)
mi−−= v ×B−−.abab(12.110)
como se muestra en
''Introducción a la electrodinámica'' de David J. Griffiths, 3ra edición 1999.
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