¿Es razonable tener una discontinuidad en la densidad de carga superficial?

En el problema en el que estoy trabajando, hay un capacitor esférico con cargas q y − q sobre las superficies interior y exterior respectivamente y la mitad está llena de un dieléctrico con permitividad ϵ . Y la tarea es calcular el campo eléctrico en el interior del capacitor y la densidad de carga superficial en la superficie interna.

Usando la ley de Gauss he encontrado que el campo eléctrico es el mismo en la región con el dieléctrico y el vacío, y su valor es:

mi ( r ) → = q 2 π ( ϵ 0 + ϵ ) r 2 mi ^ r
Calculé la densidad de carga superficial multiplicando el campo eléctrico (evaluado en el radio interior del condensador) por la permitividad de cada uno de los medios, por lo que obtuve una discontinuidad en la unión.

Por un lado me parece coherente tener una mayor densidad de carga sobre el hemisferio en contacto con el dieléctrico pero por otro lado no se como interpretar este salto al pasar de un hemisferio al otro. Lo que es peor, creo que el problema podría ser que tal vez no sea correcto usar la ley de Gauss en este caso porque la superficie gaussiana que he usado es precisamente un hemisferio que rodea cada mitad de la esfera conductora interna y para hacer uso de una simetría argumento (y poder considerar el campo eléctrico constante en cada punto del hemisferio) he asumido que la carga sobre cada mitad de la esfera interior conductora se distribuyó uniformemente y ahora esta suposición me parece dudosa.

Entonces, ¿qué está pasando? ¿No es más realista suponer que la densidad de carga sobre la esfera interna conductora es una función uniforme que varía con el ángulo? θ (oriente el capacitor de tal manera que el hemisferio lleno con el dieléctrico esté en la parte superior) en lugar de una función constante de dos partes con un salto abrupto en θ = π / 2 ? ¿Suena coherente? Si es así, supongo que no hay una manera simple de calcular el campo eléctrico dentro del capacitor y la densidad de carga en la superficie interna, ¿o sí?

Respuestas (1)

P: ¿Es razonable tener una discontinuidad en la densidad de carga superficial?

R: si

Por qué: creo que la mejor manera de abordar esto es comenzar con la condición límite para un campo E, que es.

( mi → 2 − mi → 1 ) ⋅ norte ^ = σ ϵ 0

tomado eso mi → 1 es el Campo E dentro de la esfera interna, sabemos que es

mi → 1 = 0

tomado eso mi → 2 es el campo E dentro del condensador, sabemos que es

mi → 2 = mi tu pag pag mi r ( r ) r ^ , Para 0 < θ < π 2

mi → 2 = mi L o w mi r ( r ) r ^ , Para π 2 < θ < π

Note también que norte ^ = r ^ por lo que podemos escribir la discontinuidad de la carga superficial en θ = π 2 como una diferencia entre las condiciones de contorno del campo E de Eupper y Ellower, por lo que

Δ σ | θ = π 2 , r = R = σ tu pag pag mi r − σ L o w mi r = ϵ 0 ( mi tu pag pag mi r ( R ) − mi L o w mi r ( R ) )

Donde R es el radio de la esfera interior.

Podemos ver que una densidad de carga superficial puede tener una discontinuidad, pero si los campos E en ambos hemisferios tienen diferentes campos E en su capacitancia.

¿Es razonable tener una discontinuidad en la densidad de carga superficial?
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