¿Es posible un universo esférico de 4 dimensiones con curvatura plana?

Estoy tratando de entender este fragmento de Wikipedia, en particular la sección que he enfatizado:

La curvatura del universo impone restricciones a la topología. Si la geometría espacial es esférica, es decir, posee curvatura positiva, la topología es compacta. Para una geometría espacial plana (curvatura cero) o hiperbólica (curvatura negativa), la topología puede ser compacta o infinita.[14] Muchos libros de texto afirman erróneamente que un universo plano implica un universo infinito; sin embargo, la afirmación correcta es que un universo plano que también es simplemente conexo implica un universo infinito .[14] Por ejemplo, el espacio euclidiano es plano, simplemente conexo e infinito, pero el toro es plano, multiconexo, finito y compacto. .

https://en.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_universe#Curvature

Entonces, si el universo tiene una curvatura plana, puede ser infinito o estar limitado por una forma de 4 dimensiones (compacta). Pero, ¿por qué no puede estar simplemente conectado, como una esfera de 4 dimensiones? Esa parecería ser la forma más obvia para mí para un universo finito.

La esfera S norte nunca es plana, excepto por norte = 1 .
@AccidentalFourierTransform Flat significa que puede dibujar líneas paralelas en él y que no convergen ni divergen, sino que permanecen paralelas, ¿verdad? Pero puedes dibujar líneas de latitud y longitud en la Tierra, y son paralelas.
Um, ¿estás tratando de decir que la tierra es plana?
@AccidentalFourierTransform jaja, buena. Supongo que estoy diciendo que no entiendo completamente lo que significa "plano" en el sentido topológico.
@John: Flat significa que puedes dibujar líneas rectas paralelas que no convergen ni divergen. Las líneas de longitud constante convergen; las líneas de latitud constante no son rectas: excepto en el ecuador, seguir una línea de latitud constante (excepto el ecuador) requiere que siempre se desvíe de la geodésica (gran círculo) tangente a su movimiento actual.
@AccidentalFourierTransform oh, buen punto sobre las líneas de longitud. Así que supongo que, a modo de analogía, eso también se aplica a la topología del universo. Creo que estoy empezando a entender esto. Si tomaras una esfera regular y comenzaras a expandirla, se vería cada vez más plana a nivel local, pero nunca sería realmente plana a menos que fuera un plano infinito. Para el universo, solo las topologías conectadas de forma múltiple pueden ser acotadas y planas. Si desea agregar sus comentarios como respuesta a mi pregunta, lo aceptaré con gusto.
@RLH si quisiera agregar eso como respuesta, con gusto lo aceptaría.
Bueno, un plano y simplemente conectado tampoco implica que el universo sea infinito. Solo si asumes que el universo está completo, entonces lo implica. por ejemplo, un subconjunto abierto acotado de R norte es plano y ciertamente no infinito con la métrica estándar.

Respuestas (2)

Un espacio plano significa que puedes dibujar líneas rectas paralelas que no convergen ni divergen.

En una esfera de dos, esta idea se muestra como las líneas de longitud constante que convergen y las líneas de latitud constante que no son rectas: seguir una línea de latitud constante (excepto el ecuador) requiere que siempre te estés desviando de la geodésica (gran círculo) tangente a su movimiento actual.

Por ejemplo, cerca de los polos, las longitudes son pequeños círculos, no cerca de líneas rectas.

Es imposible ser simultáneamente esférico y plano, a menos que te refieras a ser localmente plano. Las esferas son una superficie con curvatura positiva por necesidad. Como es una superficie curva.

Entonces, no, no es posible ser un Espacio de Minkowski esférico. Solucionable por geometría básica.

Pero, si vivimos en un Espacio De-Sitter (Curvatura Positiva) parecería topológicamente plano excepto a distancias muy grandes. Piense en una hormiga muy pequeña que camina sobre la superficie de una bola grande, la superficie sobre la que camina tiene una curvatura tan pequeña en esas escamas que parece plana. Aumentarlo, y esto también se aplicaría a la Tierra, y aumentarlo más, se aplicaría también al universo.

Y mencionaste líneas de latitud y longitud, estas no son en realidad líneas rectas, independientemente de cómo aparezcan en una proyección de Mercator. En realidad, son líneas curvas que lo atraviesan. Como se puede ver aquí: https://c.tadst.com/gfx/1200x630/longitude-and-latitude-simple.png?1

Y si uno marca líneas rectas, serían Grandes Círculos, y todos los Grandes Círculos en una superficie esférica se cruzan. Por lo tanto, las líneas paralelas verdaderas son una imposibilidad en una superficie esférica.

Existe esta declaración en Wikipedia, que, aunque no es la mejor fuente, sirve para respaldar mi punto.

En geometría esférica, todas las geodésicas son círculos máximos. Los grandes círculos dividen la esfera en dos hemisferios iguales y todos los grandes círculos se cortan entre sí. Por lo tanto, no hay geodésicas paralelas a una geodésica dada, ya que todas las geodésicas se cruzan. Las curvas equidistantes en la esfera se denominan paralelos de latitud análogas a las líneas de latitud en un globo. Los paralelos de latitud pueden ser generados por la intersección de la esfera con un plano paralelo a un plano que pasa por el centro de la esfera.

Y si las líneas deben curvarse para no intersecarse, no son paralelas, ya que las líneas paralelas son necesariamente rectas.

Me disculpo si esto suena arrogante o grosero. Esa no es mi intención.

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