¿Curvatura del Universo imaginario?

Si la curvatura del universo es cero, entonces

Ω = 1
y el Teorema de Pitágoras es correcto. si en cambio
Ω > 1
habrá una curvatura positiva, y si
Ω < 1
habrá una curvatura negativa, en cualquiera de estos casos, el teorema de Pitágoras sería erróneo (pero las discrepancias sólo son detectables en los triángulos cuyas longitudes sus lados son de una escala cosmológica). pero podría pensar en una curvatura del universo tal que
Ω = a + i b
es un numero complejo? eso significaría físicamente?

El teorema de Pitágoras es una teoría (evidente de la palabra "teorema") del espacio euclidiano que es plano. No dice que el universo real sea euclidiano.
¿Alguna vez has oído hablar de la paradoja de Banach-Tarksi? En matemáticas, puedes crear algo que es imposible en el mundo real (física).
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Respuestas (3)

No creo que tenga mucho sentido definir un parámetro de curvatura imaginario.

La curvatura (y olvídate Ω por ahora) describe cómo se "rotan" los vectores espaciales en cada punto, es decir, da una "rotación" a lo largo de las coordenadas "antiguas" así como un posible "cambio de escala" de las longitudes en relación con las coordenadas "antiguas". Entonces lo que efectivamente te dice es “esta dirección se transforma en aquella por esta cantidad, esa cantidad y esa otra cantidad”, etc., para cada punto del espacio .

Desea que el resultado de dicha transformación sea un espacio vectorial real , sin componentes imaginarios, porque eso es lo que tiene significado físico. Recuerde que esto es física, por lo que al final son las matemáticas las que están subordinadas a la física, no al revés. El hecho de que puedas inventar una nueva álgebra no significa que sea físicamente útil (es decir, se traduce en el "mundo real"), así que tenlo en cuenta cuando elijas nuevas álgebras.

Ahora de vuelta a Ω . Recuerde que es un parámetro de densidad , por lo que deberá explicarnos qué significaría para usted una densidad imaginaria , por ejemplo, un valor imaginario para una densidad de masa.

Existe al menos un enfoque para unificar el electromagnetismo y la gravedad que utiliza una métrica compleja. En ese enfoque, la densidad de masa imaginaria equivale a la densidad de carga.

El parámetro de densidad Ω es un número real positivo. la curvatura k se normaliza a los valores − 1 , 0 , o + 1. Debido a Friedmann, k es negativo, cero o positivo según sea Ω es menor, igual o mayor que 1 , respectivamente. Debido a la normalización de k , el valor exacto de Ω no es computable a partir de ella. En general, se trabaja al revés, utilizando datos de densidad para informar la curvatura. Se podría encontrar una expresión no normalizada para la curvatura y buscar cómo se relaciona con Ω , pero las fórmulas están bastante anidadas en la derivación.

El parámetro de densidad Ω Se define como

Ω := 8 π GRAMO ρ 3 H 2
dónde GRAMO es la constante gravitacional, ρ es la densidad media, y H es la constante de Hubble. Se podría pensar en esto como una función de la variable ρ , que se aproxima en base a datos experimentales. Desde este punto de vista, un imaginario Ω requeriría una densidad promedio imaginaria, y no hay sentido físico de lo que eso significaría en términos de masa por volumen, ni hay un sentido de densidad negativa.

En geometría diferencial, la curvatura puede tomar el valor de cualquier número real. Desde una perspectiva puramente matemática, me sorprendería que alguien no haya investigado la noción de curvatura compleja, pero esto no es convencional en matemáticas, y mucho menos haber encontrado una aplicación en física. Si lo hiciera, habría que reinterpretar el resultado de Friedman sobre la relación entre k y Ω , pero espero ese imaginario k correspondería a negativo Ω debido a la cuadratura.

Existe una noción de espacio hiperbólico como una esfera de radio i , al igual que la esfera ordinaria tiene radio 1 , ya que la esfera está parametrizada como la solución establecida en una forma cuadrática establecida igual al radio. Incluso allí, es solo otra forma de pensar sobre la curvatura negativa.

Como dije antes en respuesta a otra pregunta, la noción de curvatura compleja sí existe: véase Y. Martinez-Maure, Real and complex hedgehogs, their simplectic area,curvature and evolutes . El autor dice que el artículo aparecerá en el Journal of Symplectic Geometry.

Por ejemplo, un círculo complejo con radio (complejo) R tiene un radio (complejo) de curvatura igual a R (ver página 17).

Uno podría imaginar que existe una métrica compleja tal que la aniquilación del operador verifica las ecuaciones de Dirac o Klein Gordon asociadas con esta métrica mientras que la creación del operador verificaría estas mismas ecuaciones pero para la métrica conjugada.

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