¿Experimentó nuestro Universo una fase dominada por la curvatura?

Analicemos la evolución de la curvatura en el$\Lambda\text{CDM}$modelo. Si$\rho_R$,$\rho_M$, y$\rho_\Lambda$son las densidades de radiación, materia y energía oscura, y

$$\rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}$$ es la densidad crítica, entonces podemos definir $$\Omega_{R} = \frac{\rho_{R}}{\rho_{c}},\quad \Omega_{M} = \frac{\rho_{M}}{\rho_{c}},\quad \Omega_{\Lambda} = \frac{\rho_{\Lambda}}{\rho_{c}},$$ y la cantidad $$\Omega_{K} = 1 - \Omega_{R} - \Omega_{M} - \Omega_{\Lambda},$$ que puede servir como medida de la curvatura: si $\Omega_{K} = 0$el universo es plano si $\Omega_{K} < 0$la curvatura es positiva, y si $\Omega_{K} > 0$la curvatura es negativa. Podemos escribir estas cantidades en términos de sus valores actuales (indicados por subíndices " $0$") como sigue: $$\rho_R = \rho_{R,0}\, a^{-4},\quad \rho_M = \rho_{M,0}\, a^{-3},\quad \rho_\Lambda = \rho_{\Lambda,0},$$ dónde $a$es el factor de escala con valor actual $a=1$, de modo que $$\Omega_{R} = \Omega_{R,0}\frac{H_0^2}{H^2}a^{-4},\quad \Omega_{M} = \Omega_{M,0}\frac{H_0^2}{H^2}a^{-3},\quad \Omega_{\Lambda} = \Omega_{\Lambda,0}\frac{H_0^2}{H^2}.$$ De las ecuaciones de Friedmann, también encontramos (ver esta publicación para más detalles) que $$H^2 = H_0^2\left(\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}\right),$$ de modo que $$\Omega_{K}(a) = \frac{\Omega_{K,0}\,a^{-2}}{\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}.$$ De esto aprendemos lo siguiente:

• Si$\Omega_{K,0}=0$, entonces$\Omega_{K}\equiv 0$. Es decir, si el universo es exactamente plano hoy, siempre ha sido plano y siempre lo será.
• Como$a\rightarrow\infty$, el término$\Omega_{\Lambda,0}$domina, por lo que$\Omega_{K}\rightarrow 0$. En otras palabras, si$\Omega_{K,0}\ne 0$, la curvatura del universo irá a cero en el futuro bajo la influencia de la energía oscura.
• Como$a\rightarrow 0$, el término$\Omega_{R,0}$domina, y otra vez$\Omega_{K}\rightarrow 0$. Entonces, en el pasado lejano, la curvatura del universo también estaba muy cerca de cero; esto se conoce como el problema de la planitud y una de las motivaciones para la existencia de una época inflacionaria.

Desde$|\Omega_{K}|$desaparece en el pasado y en el futuro, debe haber tenido un valor máximo en algún momento intermedio si hoy es distinto de cero. Este máximo ocurre cuando la derivada de$\Omega_{K}(a)$es cero Después de un poco de álgebra, esto se reduce a resolver

$$2\,\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} - 2\,\Omega_{\Lambda,0} = 0.$$ Por cierto, este es también el momento en el que la expansión del universo pasó de la desaceleración a la aceleración (es decir, cuando $\ddot{a}=0$, vea el enlace anterior para más detalles). Usando los valores $\Omega_{R,0}\approx 0$, $\Omega_{M,0}\approx 0.3$y $\Omega_{\Lambda,0}\approx 0.7$, encontramos la solución $$a_m \approx \left(\frac{\Omega_{M,0}}{2\,\Omega_{\Lambda,0}}\right)^{1/3} \approx 0.6,$$ y la curvatura correspondiente $$\Omega_{K,m} \approx \frac{\Omega_{K,0}\,a_m^{-2}}{\Omega_{M,0}\,a_m^{-3} + \Omega_{K,0}\,a_m^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}} \approx \frac{\Omega_{K,0}}{\Omega_{K,0} + (3/2)\,\Omega_{M,0}\,a_m^{-1}} \approx \frac{\Omega_{K,0}}{\Omega_{K,0} + 0.75}.$$ Las observaciones indican que la curvatura actual es $$-0.02 < \Omega_{K,0} < 0.02,$$ de modo que la curvatura mínima/máxima hubiera sido $$-0.027 < \Omega_{K,m} < 0.026.$$ En otras palabras, la curvatura del universo siempre ha sido pequeña.