Supongamos que estamos estudiando el caso de un movimiento circular uniforme. El análisis de dicho movimiento generalmente se realiza utilizando la segunda ley de Newton como . Incluso cuando el movimiento no es puramente circular, como en el caso de los problemas de fuerza central, todavía usamos la familiar segunda ley de Newton en nuestro análisis. Además, el objeto en cuestión se trata como una masa puntual.
Sin embargo, el movimiento de un cuerpo en una órbita puede considerarse como un caso especial de mecánica rotacional. Supongamos que tenemos una pelota que gira sobre su eje. Analizamos esto usando el análogo rotacional de la segunda ley de Newton - usando torques y momentos de inercia - . Esta ecuación básicamente nos dice qué tan rápido giraría un cuerpo si le aplicamos un torque.
Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje, se puede pensar que los diferentes elementos de masa que constituyen todo el cuerpo se mueven en una órbita alrededor del eje. La aceleración centrípeta necesaria la proporcionan las fuerzas que aseguran que el cuerpo no se deforme, supongo que fuerzas electrostáticas. El torque, por lo tanto, es la manifestación de dónde estamos aplicando la fuerza en nuestro cuerpo extendido. De manera similar, el momento angular describe el momento de los elementos de masa individuales que se alejan del eje.
¿Es posible, en principio, analizar el movimiento de rotación de un objeto utilizando simplemente la fuerza, la masa, el momento, etc., en lugar del par, el momento angular y el momento de inercia? ¿Algo parecido a encontrar las fuerzas en cada una de estas pequeñas partículas, y luego integrarlas en todo el cuerpo, y resolver las ecuaciones de movimiento para describir cómo gira el cuerpo como un todo? Estoy seguro de que, durante cualquier análisis de este tipo, nos veríamos obligados a reinventar el momento de inercia y el par en algún lugar de la derivación. Sin embargo, en principio, ¿es posible describir la rotación de un cuerpo usando (empezando por) , o mejor ?
En el caso de partículas puntuales, usamos las leyes de Newton directamente para analizar el movimiento. En el caso de objetos extensos, usamos los análogos rotacionales de nuestros conceptos lineales. ¿Es teóricamente posible (definitivamente impráctico) describir el movimiento de cuerpos rígidos extendidos, comenzando con , y luego derivar todos los análogos rotacionales desde este punto de partida?
Como se señaló en un comentario: todas las expresiones de la dinámica rotacional se pueden construir a partir de las expresiones de la dinámica lineal.
La única diferencia real es que la dinámica lineal es posible con un grado de libertad espacial, mientras que la dinámica requiere un mínimo de dos dimensiones espaciales.
Por ejemplo, existe el dispositivo de demostración en el aula de mecánica lineal llamado ' pista de aire '. El movimiento está efectivamente restringido a una dimensión espacial.
Para la demostración del movimiento de circunnavegación, alrededor de algún punto de atracción o repulsión, se usa una mesa de aire.
En el caso del movimiento circular, hay dos formas de descomponer ese movimiento que tienen un uso práctico. Una forma es descomponer el movimiento a lo largo de los ejes de una cuadrícula rectangular. Entonces, el movimiento circular se puede representar como una combinación lineal de dos oscilaciones armónicas , desfasadas 90 grados.
Por supuesto, la descomposición más utilizada es según coordenadas polares : distancia radial al centro de atracción/repulsión y ángulo con respecto a alguna línea de referencia.
En ambos casos el movimiento se descompone en dos componentes. Los movimientos de los componentes están a 90 grados entre sí.
Momento angular
El concepto de momento angular tuvo un precursor: la ley de las áreas de Kepler.
La primera proposición de los Principia de Newton es una demostración de que la ley de las áreas de Kepler se sigue lógicamente de las leyes del movimiento establecidas en los Principia.
Representé esa derivación en una respuesta aquí en stackexchange a una pregunta titulada ' Intuición para el momento angular ' Los elementos que intervienen en esa derivación provienen todos de la mecánica lineal.
Masas puntuales frente a objetos extendidos.
En mecánica, cuando el movimiento de un objeto sólido se modela con una ecuación, lo que se sigue es el movimiento del centro de masa . Cualquiera que sea la forma de algún objeto A, si no está tocando ningún otro objeto (por lo tanto, el movimiento no se ve afectado), entonces ese objeto A se trata efectivamente como una masa puntual. Así es como es posible describir un objeto extenso con un solo valor para su inercia; lo trata como si fuera una masa puntual .
En mecánica angular existe el concepto de Momento de inercia . Si tiene una rueda, puede usar el momento de inercia de esa rueda en un cálculo.
Eso plantea la pregunta: no hay forma de tratar esa rueda como una masa puntual, es inherentemente un objeto extendido . ¿Cómo se puede asignar un valor único al momento de inercia?
Las entidades de la mecánica angular se construyen aprovechando la simetría rotacional.
Una rueda es (a efectos del cálculo) rotacionalmente simétrica. Para simplificar, contamos solo la masa de la llanta (tratando la masa de los radios como despreciable). Para la magnitud del momento de inercia tratamos toda la masa de la llanta como si estuviera concentrada en un punto a alguna distancia 'r' del centro de rotación. Esto es válido porque todo lo que cuenta para la magnitud del momento de inercia es la distancia al centro de rotación.
Sí, es posible, pero es muy complicado en comparación con cuando se hace con un simple par y un momento de inercia y todo. Puede tomar una situación simple y usar solo las tres leyes de movimiento de Newton y algunas restricciones, como para un cuerpo rígido, tiene la restricción de que las distancias entre dos partículas cualesquiera siempre serán las mismas durante todo el movimiento, luego haga algunos cálculos matemáticos y terminará en relaciones iguales a las de las ecuaciones de torsión. Intente esto, aumentará sus habilidades matemáticas y le dará una visión más amplia de estas cosas simples.
Marius Ladegard Meyer
Hoagie nuclear