Una pregunta relacionada con el teorema del binomio de Newton en la que no puedo pensar

Question

Una pregunta relacionada con el teorema del binomio de Newton en la que no puedo pensar

Matemáticas
combinatoria
teorema del binomio
Matemáticas discretas
funciones generadoras

3ibfwcbi

Estoy tratando de resolver una asignación de un instituto en el que no estudio y no puedo obtener una respuesta a esta pregunta. Para la teoría, estoy estudiando Combinatoria Introductoria de Richard Brualdi.

La pregunta es -> Mostrar que $(1-4x)^{-1/2}$ genera la secuencia ${2n \choose n}$ .

Usando la fórmula binomial de Newton estoy obteniendo $\frac{ (2n) (2n-2) ... (2n-2k +2) 2^k } { k! }$ que no dará la respuesta.

No se donde me equivoco. ¿Alguien puede dar una respuesta detenida? No puedo preguntarle a nadie porque soy autodidacta.

Respuestas (1)

Una pregunta relacionada con el teorema del binomio de Newton en la que no puedo pensar

roberto z · Answer 1

Obtuviste algo con dos variables: $n$ y $k$ . El coeficiente requerido depende de $n$ ¡solo!

Usar la fórmula binomial (generalizada) significa que

(1 - 4 X)^{- 1 / 2} = \sum_{norte = 0}^{\infty} (\binom{- 1 / 2}{norte}) (- 4)^{norte} X^{norte} .

$(1-4x)^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/2}{n}(-4)^{n} x^n.$ Ahora expande el coeficiente binomial

\begin{aligned} (\binom{- 1 / 2}{norte}) (- 4)^{norte} & = \frac{(- \frac{1}{2}) (- \frac{3}{2}) (- \frac{5}{2}) \dots (- \frac{1}{2} - norte + 1) (- 4)^{norte}}{norte!} \\ = \frac{(1) (3) (5) \dots (2 norte - 1) (2)^{norte}}{norte!} \end{aligned}

$\begin{align} \binom{-1/2}{n}(-4)^{n}&=\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})\dots (-\frac{1}{2}-n+1)(-4)^{n}}{n!}\\ &=\frac{(1)(3)(5)\dots (2n-1)(2)^{n}}{n!} \end{align}$ ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Una pregunta relacionada con el teorema del binomio de Newton en la que no puedo pensar

3ibfwcbi

Respuestas (1)

roberto z

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