¿Es necesario el par en la mecánica de cuerpos rígidos? [duplicar]

En su cálculo, el par y el momento angular no son particularmente ventajosos porque el ejemplo es demasiado simple: la fuerza actúa en la dirección de la velocidad. Si tuviéramos la fuerza de la gravedad, el concepto de momento angular y torque ya sería bastante útil, ya que nos permite escribir la ecuación de movimiento del movimiento rotatorio sin la necesidad de lidiar con las fuerzas de restricción de la barra que actúa sobre la partícula. .

En principio, el par y el momento angular no son conceptos necesarios en mecánica para formular las leyes de la mecánica o las ecuaciones de movimiento de un cuerpo. Se derivan de la segunda ley de Newton que involucra fuerza y ​​aceleración de puntos materiales.

Por supuesto, sería posible expresar el estado de movimiento de, digamos, un satélite bajo la acción de una fuerza externa, con un conjunto de coordenadas y velocidades de todas las partículas que lo componen y escribir las ecuaciones de movimiento para ellas que involucran solo efectivo. Pero esto implicaría un número inmenso de variables restringidas mutuamente y sería muy torpe.

Introduciendo el par para cada una de las fuerzas elementales que actúan sobre cada partícula material del cuerpo rígido, es posible (bajo la condición de que la fuerza de una partícula que actúa sobre otra esté dirigida a lo largo de la línea recta que las une) simplificar ese gran sistema de ecuaciones en solo algunos.

El estado del satélite se puede describir con 3 coordenadas de su centro, 3 componentes de velocidad del centro, 3 ángulos de orientación y 3 componentes de velocidad angular del cuerpo, que son solo 12 variables.

La forma más fácil de recordar y escribir el conjunto de ecuaciones que involucran los ángulos de orientación del cuerpo y los componentes de la velocidad angular es la relación entre el par neto y el momento angular:

Esto se puede usar para derivar las llamadas ecuaciones de Euler para el movimiento de un cuerpo rígido o algún conjunto equivalente de ecuaciones.

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_equations_(rigid_body_dynamics)

La gran ventaja de los conceptos de par y momento angular en la práctica es una descripción más fácil, más concisa y más sucinta del estado de los cuerpos rígidos y del cambio de este estado. Simplifica el análisis de los problemas mecánicos.

El par es necesario al igual que la velocidad lineal. Ambos indican que algo sucede a distancia . El par es fuerza a distancia y la velocidad es rotación a distancia. En general, cuando tienes uno también tienes el otro.

• Si tiene una fuerza a través de algún eje, se generará un par de torsión a partir de esa fuerza que se aleja de este eje.
• Si tiene una rotación sobre algún eje, se generará una velocidad tangencial a partir de esta rotación alejándose de este eje.
• Un par puro teórico es una fuerza cero aplicada en el infinito al igual que una velocidad lineal pura es una rotación cero en el infinito.

Entonces, en general, necesitamos torques porque nos dicen dónde suceden las cosas. Una fuerza aplicada a lo largo de un eje arbitrario debe transferirse al centro de masa como un par fuerza/torque para poder usarse en las ecuaciones de movimiento. De manera similar, cualquier movimiento definido debe transferirse al centro de masa como un par lineal/angular para establecer el estado de momento del cuerpo (también para usar en las ecuaciones de movimiento).

Considere el caso general de su problema. Un cuerpo rígido clavado en B recibe una fuerza de corta duración (impacto)$F$en el punto A. El centro de masa se encuentra en C. Va a haber una reacción en el pin.$B_y$.

Las ecuaciones de movimiento se pueden expresar en A , B o C si tenemos cuidado de tener en cuenta los pares y las aceleraciones adecuados.

• En el centro de masa C el término$c \alpha$es la aceleración lineal del centro de masa y$(\ell -c) F$el par debido a la fuerza$F$. $$\begin{aligned} F + B_y & = m c \alpha \\ (\ell-c) F - c B_y & = I_C \alpha \end{aligned}$$
• En el punto de pivote B el momento de inercia de la masa$I_C$se transfiere al pivote usando el teorema del eje paralelo $$\begin{aligned} F + B_y & = m c \alpha \\ \ell F & = (I_C + m c^2) \alpha \end{aligned}$$
• En el punto de impacto A hay una carga de inercia$m \ell \alpha$y es el par a tener en cuenta (ver el último término de la segunda ecuación). $$\begin{aligned} F + B_y & = m c \alpha \\ -l B_y & = (I_C + m d^2) \alpha - m d \ell \alpha \end{aligned}$$ dónde$d=\ell-c$

Para todos los casos anteriores, las ecuaciones no podrían resolverse correctamente sin los pares equivalentes en el lado izquierdo y las aceleraciones equivalentes en el lado derecho. Hay ubicaciones del sistema de coordenadas donde las aceleraciones lineales son cero (como la ubicación del pasador) y otras donde el par neto es cero (y, por lo tanto, no es necesario). Pero no al mismo tiempo . Tienes que tener en cuenta uno u otro o ambos.

Es muy fácil: debe considerar los pares si no puede tratar sus objetos como puntos de masa.

Aquí hay una situación más simple:
imagine un cuerpo y dos fuerzas trabajando sobre él, siendo las fuerzas antiparalelas y de igual fuerza, pero no en la misma línea.
Las leyes de traslación solo te dicen que el centro de masa no acelerará, no pueden predecir la aceleración angular. Para asegurarse de que la situación sea estática, también debe verificar que todos los pares sean cero.

Es al revés: establecer los pares con respecto a suficientes ejes para que sean cero implica también que la fuerza neta sea cero.
En un problema de estática bidimensional, por ejemplo, puede considerar (es decir, poner a cero) la fuerza neta y el par alrededor de un punto, o la proyección de la fuerza neta en una dirección y los pares alrededor de dos puntos, o solo los pares alrededor de tres puntos. puntos. Cada posibilidad le brinda la información completa que puede obtener del hecho de que la situación es estática (en el sentido de que cada ecuación adicional será linealmente dependiente de las existentes).

Ha establecido algunas restricciones estrictas para desarrollar su pregunta. Si elimina esas restricciones, habrá muchas situaciones en las que será necesario calcular el par.

Considere una situación de equilibrio estático con una tabla uniforme de longitud$\ell$, descansando sobre dos puntos de apoyo en un campo gravitatorio. Un soporte está en el extremo izquierdo del tablero y el otro soporte está$\ell /3$desde el extremo derecho del tablero. Para encontrar las fuerzas de elevación de cada soporte, debe realizar un cálculo de torque.

Para otra situación de movimiento, considere una fuerza que actúa en una dirección constante sobre una barra maciza de modo que no esté constantemente perpendicular a la barra y la barra no esté anclada. Si la fuerza no se dirige a través del centro de masa, la barra comenzará a girar y la velocidad tangencial instantánea del extremo de la barra no será$at$. Tendrás que calcular el torque en la varilla para encontrar$\omega (t)$.

La precesión de un trompo en un campo gravitatorio requiere un cálculo de par. La explicación de la dirección/contradirección de una bicicleta o motocicleta conduciendo por la carretera requiere un cálculo de par.