¿Es la discreción una propiedad emergente?

Parece que estás apelando a algún tipo de ideal platónico de lo que realmente está ahí. Simplemente hay dos formas equivalentes de definir las cosas: comenzando con funciones continuas y haciendo funciones escalonadas arbitrariamente empinadas para obtener discreción; o partiendo de conjuntos discretos y permitiendo arbitrariamente muchos estados para aproximarse a un continuo.

Como observa, el mundo físico parece contener cosas que, en cierto sentido, parecen más intrínsecamente una u otra (niveles de energía cuantificados, continuos de impulsos). Por lo tanto, usar un modelo suele ser más natural que el otro, pero eso no significa que sea necesariamente más fundamental. No está claro que preguntar cuál es más fundamental, una vez que reconocemos que existe una equivalencia entre los dos modelos y que ciertos fenómenos fundamentales pueden caer en cualquiera de las dos categorías de manera más natural, sea incluso una pregunta sensata. "Ambos", "los modelos son una propiedad de lo que está en tu cabeza, no necesariamente la realidad", "discretos, porque tenemos mejores teoremas allí" y varias otras cosas parecen igualmente razonables.

La discreción oculta puede dar lugar a la discreción obvia

Describiría la mayoría de sus ejemplos como una demostración de discreción en un nivel superior, que surge de la discreción en un nivel inferior.

• La función zeta de Riemann es una función continua que codifica las propiedades de los números primos, pero se define como una continuación analítica de una serie infinita que suma los números enteros; la relación entre Riemann Zeta y los números primos puede verse como resultado del hecho de que para valores de entrada reales para los cuales la serie es convergente, Riemann Zeta describe algo así como una distribución de probabilidad sobre los números enteros en términos de la probabilidad de que sea divisible por cualquier potencia prima particular, a través del Teorema Fundamental de la Aritmética.

• La teoría de cuerdas, una teoría propuesta de partículas, considera objetos continuos, que tienen una longitud finita, como bucles cerrados, que definen una escala de longitud y determinan los posibles modos de vibración.

• A través de QM, la discreción de los niveles de energía, etc. emergen de una ecuación de onda continua, en particular porque los electrones son atraídos por los protones; donde en particular todos los electrones tienen la misma carga, todos los protones tienen la misma carga. Todavía tendríamos niveles de energía discretos para cualquier átomo en particular si este no fuera el caso, pero sería mucho más difícil para nosotros descubrirlo, porque lo descubrimos a través de las propiedades generales de la materia (por ejemplo, experimentos con gases calientes) . Aún más notable, los protones y los electrones tienen la misma magnitud de carga.

En cada caso, la discreción que encontramos que está "emergiendo", puede estar emergiendo sólo debido a la discreción que está presente en otro nivel inferior. Los objetos matemáticos continuos simples, como la recta numérica real o una curva exponencial, no traicionan ningún signo particular de discreción en absoluto; aunque nuestras únicas herramientas para describir el concepto de la línea real son a través de símbolos discretos, y demostrando su incapacidad para ajustarse a cualquier modelo ingenuo de discreción.

Discreción y continuidad como conceptos heurísticos

Tal vez su comentario

cualquier teoría de todo lo que los humanos pueden encontrar, o cualquier teorema de las matemáticas, debe formularse utilizando un conjunto finito de símbolos discretos

es el más interesante: ¿es el caso de que cualquier teoría que seamos capaces de formular implique discreción, y si es así, se debe a nuestros sistemas de notación? Pienso que las matemáticas, tanto como un ejemplo de lenguaje como una extensión de nuestro interés en la cantidad y la estructura, involucran la discreción en sus niveles más profundos, posiblemente porque la discretización es fructífera para resolver problemas rápido y lo suficientemente bien en los varios millones de años en los que vivieron nuestros antepasados.

Pero no está claro que esto signifique que estamos obligados a percibir discreción donde no la hay. De hecho, nos llevó mucho tiempo percibir lo discreto donde evidentemente existía, en la forma de la teoría atómica de la materia; y en algunas ramas de las matemáticas es mucho más fácil aproximar un gran objeto discreto (como una serie infinita) por uno continuo (en este caso, una integral), que evaluar el objeto discreto directamente. Aquí vemos que a veces es más fructífera una estrategia para computar las cosas como si fueran un continuo.

El reconocimiento de voz es un ejemplo interesante: los elementos del habla son fonemas discretos, que son una descripción detallada de un espectro de frecuencia que evoluciona en el tiempo y representa ondas de presión en el aire, que en realidad está compuesto de átomos individuales, pero que en sí mismos son picos en la onda continua. -función, y así sucesivamente. Nuestras mejores descripciones de los fenómenos se equivocan entre si es mejor modelar ese fenómeno como un continuo o como un modelo discreto. Además, las elecciones las hacemos esencialmente nosotros como una cuestión de conveniencia computacional (y conceptual).

En vista de la lección de mecánica cuántica, podríamos preguntarnos si existe un medio excluido de algo que de algún modo no es ni discreto ni continuo, pero tiene características de ambos. Quizás tal noción sería más informativa sobre la forma en que funciona el mundo y explica por qué tenemos una tendencia a alternar entre continuos y cuantos para describir el mundo. Pero más concretamente, las nociones mismas de discontinuidad y continuidad son herramientas que utilizamos para comprender el mundo, y nuestras nociones de lo que son los signos de "continuidad" y "discreción" nos sugieren formas en las que intentar comprender el mundo. mundo, que no necesariamente nos proporcionará una idea de su naturaleza fundamental a menos que hayamos tenido la suerte de que esos prácticosLos conceptos se relacionan con las características fundamentales del mundo.

No creo que sin un contexto más específico se pueda decir cuál de los dos es emergente. Lo que es emergente también puede ser históricamente contingente.

La discreción y la continuidad están implicadas la una en la otra. Toma la línea real, está hecho de puntos discretos. Ahora, por supuesto, decimos que la línea real tiene una topología, la topología que se acaba de dar es la topología discreta, pero de hecho esto no reproduce las propiedades geométricas de la línea real tal como las entendemos; en su lugar, requerimos la topología de intervalo. Por supuesto, los puntos de la línea permanecen allí como sustrato de la teoría de conjuntos; pero en la llamada topología sin sentido podemos deshacernos de este sustrato y considerar solo la topología (técnicamente esta teoría se llama la teoría de las localidades). Puede parecer que nos hemos librado de la discreción; pero esta pérdida es sólo aparente. Nos hemos librado de la discreción al considerarlos como puntos; pero no como discreción cuando se considera como los elementos de la topología. Lo que hemos hecho, en esta perspectiva, es ampliar la noción de discreciónpor lo que no es sinónimo de la noción de punto .

Pero cuando consideramos la línea en geometría euclidiana (geometría sintética) vemos que no está hecha de puntos, la línea es un dato. Sin embargo, donde se cruzan dos líneas, tenemos un punto marcado en cada línea. Este es el comienzo de la geometría analítica o cartesiana. Aquí lo discreto emerge de lo continuo. O lo analítico a partir de lo sintético.

En lugar de decir que uno es anterior al otro y el otro emerge de él; es mejor decir que uno puede surgir del otro; y ninguno es anterior.