Intuición para la ecuación de Hamilton-Jacobi derivada de la acción mínima

Estoy tratando de entender la ecuación de Hamilton-Jacobi sin el marco de las transformaciones canónicas. Incluso en el caso de una partícula libre 1D, me quedo atascado.

El sistema comienza en una coordenada fija q 0 en el momento t 0 . Función principal de Hamilton S ( q , t ) se define como la acción, integrada a lo largo de la trayectoria que satisface las ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Hamilton) y toma el sistema de q 0 en el momento t 0 a q en el momento t . A mi entender, como q y t variar la velocidad inicial tiene que ajustarse para que el sistema aterrice en q en el momento t .

Escribiendo la integral de acción y comparando las diversas integrales de trayectoria a medida que perturbo q y t Puedo demostrar que esta función S ( q , t ) satisface:

∂ S ∂ t ( q , t ) = − H ( q , pag , t ) , ∂ S ∂ q ( q , t ) = pag ,
dónde H es el hamiltoniano y pag es la cantidad de movimiento del sistema cuando se alcanza q en el momento t (es decir pag es una función de q y t ).

Por lo tanto, la ecuación de Hamilton-Jacobi para S es

∂ S ∂ t + H ( q , ∂ S ∂ q , t ) = 0.

Para una partícula libre 1D, el hamiltoniano es H ( q , pag , t ) = pag 2 / 2 metro y la ecuación de HJ es

∂ S ∂ t + 1 2 metro ( ∂ S ∂ q ) 2 = 0.

La solución de la PDE es

S ( q , t ) = ± 2 metro mi q − mi t + C ,
para algunas constantes mi y C . Aaa y ya estoy confundido:
H ( q , t ) = − ∂ S / ∂ t = mi = C o norte s t a norte t ,
la misma constante para cualquier q y t . Pero esto no puede estar bien. Si la partícula termina en q = 1 en t = 1 debería tener una energía más baja que si termina en q = 100 en t = 1 , ya que debe estar viajando más rápido en este último caso.

Para esta situación sabemos la respuesta correcta: asumiendo q 0 = 0 y t 0 = 0 , la velocidad de la partícula es q / t (constante a lo largo de su trayectoria) y el Lagrangiano integrado a lo largo del camino a q , t es S ( q , t ) = 1 2 metro q 2 t .

  1. ¿Cómo le doy sentido a esta aparente contradicción sobre la energía constante como una función de q y t ?

  2. Además, al final del día, ¿cómo obtenemos la solución para el movimiento de la partícula a partir de la ecuación HJ (es decir, algo como q = ± 2 mi metro t )? He visto referencias a tomar una derivada parcial de S con respecto a mi , pero eso es un misterio para mí también.

Respuestas (1)

  1. Un punto importante es no confundir la función principal de Hamilton

    S ( q , mi , t )   =   ± 2 metro mi q − mi t
    y la acción en el caparazón
    S ( q F , t F ; q i , t i )   =   metro 2 ⋅ ( q F − q i ) 2 t F − t i .
    Responden a diferentes preguntas, porque las diferentes variables se mantienen constantes.

    Tenga en cuenta que desde la perspectiva de la HJ eq. (que es una PDE en S ), la energía mi es una constante de integración, que se reinterpreta como un nuevo impulso PAG y una constante de movimiento . El valor de mi depende de la trayectoria.

  2. En cuanto a la última pregunta de OP, tenga en cuenta que la función principal de Hamilton S ( q , mi , t ) se define como un TC tipo 2 con el nuevo impulso

    PAG   =   mi
    igual a la energía. Desde el Kamiltoniano k ≡ 0 es idénticamente cero, la nueva posición
    q   =   ∂ S ∂ PAG   =   ± metro 2 PAG q − t
    es una constante de movimiento. Esto lleva a
    q ˙   =   ± 2 PAG metro .

Muchas de las preguntas de OP están cubiertas en esta publicación Phys.SE y el lema de mi respuesta Phys.SE aquí .

Gracias por los enlaces, pero me gustaría entender esto en los términos que expuse en mi pregunta, en particular sin referencia a las transformaciones canónicas. Mis primeras dos ecuaciones provienen del mismo razonamiento que usas en tu lema (aunque no necesito imponer la restricción que haces en la Fig. 2 de que la variación en q F depende de la variación de t F ; tu ecuación 16). No veo que esté combinando cosas: olvídese de cómo llamo a estas funciones: simplemente tomar todas las cantidades como las defino parece conducir a una contradicción.
Actualicé la respuesta.
Gracias. ¿Puedes aclarar tu punto #1? El S ( q , mi , t ) resuelve la ecuación HJ cuando mi es una constante (const mi entra cuando se utiliza la separación de variables). Pero me doy cuenta de que lo que llamas la acción en el caparazón, S = ( 1 / 2 ) metro q 2 / t , también resuelve la ecuación HJ y da lo que me parece ser la solución "correcta": la acción en función del punto final q en el momento t . ¿El problema es cómo integrar el HJ PDE porque los dos S 's no obedecen las mismas condiciones iniciales? ¿Cuál es la interpretación de la S = ± 2 metro mi q − mi t ¿solución? ¿Puedes explicar sin transformaciones canónicas?
Actualicé la respuesta.
Gracias. Creo que la clave de mi confusión es darme cuenta de que la solución al HJ PDE no es única. Es decir, la acción "en el caparazón" en función del punto final S ( q , t ) (para un punto de partida fijo) resuelve la ecuación HJ pero una solución dada S ′ ( q , t ) al HJ eqn no tiene que ser este S ( q , t ) función. Si escribes la constante de integración en S ′ ( q , t ) en términos de q y t y vuelva a enchufar S ′ siempre obtienes S ( q , t ) . Puedo mostrar esto usando S ′ como función generadora, pero aún me gustaría saber si la teoría HJ se puede desarrollar sin funciones generadoras/transformaciones canónicas.
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