¿Es esta representación en serie de la hipotenusa simétrica con respecto a los lados de un triángulo rectángulo?

Question

¿Es esta representación en serie de la hipotenusa simétrica con respecto a los lados de un triángulo rectángulo?

geometría
Matemáticas
secuencias y series

cristobal esmeril

Esta expresión es más una curiosidad (quizás incluso una tautología) que un método práctico para encontrar la hipotenusa, ya que requiere sacar la raíz de la suma de los cuadrados de los catetos, que a su vez da el resultado, es decir, la longitud de la hipotenusa. Aún así, lleva a una pregunta que podría ser de interés.

Dado un triángulo rectángulo con cateto a más pequeño , cateto b más grande e hipotenusa c :

La serie infinita se deriva fácilmente construyendo la línea normal a la hipotenusa a través del ángulo recto y observando que esto crea un triángulo similar con dimensiones en una proporción de b/c al primero. La iteración de este proceso hasta el infinito conduce a una subdivisión de la hipotenusa en longitudes que convergen a cero y cuya suma infinita es igual a la hipotenusa.

Mi pregunta es, como esta serie se deriva con la suposición de que a es el cateto más pequeño, ¿es simétrica con respecto a ambos catetos, a y b ? En otras palabras, ¿son ambos lados intercambiables en la serie y, de ser así, por qué?

C = a^{2} \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{b^{2 norte - 2}}{(a^{2} + b^{2})^{\frac{2 norte - 1}{2}}}

$c=a^2\sum_{n=1}^\infty\frac{b^{2n-2}}{(a^2+b^2)^{\frac{2n-1}2}}$

gerry myerson

¿Por qué no intentar calcularlo con

a = 3

$a=3$ ,

b = 4

$b=4$ , y luego con

a = 4

$a=4$ ,

b = 3

$b=3$ , para ver si obtienes la misma respuesta?

cristobal esmeril

@Gerry Myerson O podríamos ver el boceto que agregué e intuir por razonamiento geométrico que la proporción relativa a/b no hace ninguna diferencia en la construcción o las relaciones.

Respuestas (3)

¿Es esta representación en serie de la hipotenusa simétrica con respecto a los lados de un triángulo rectángulo?

¿Por qué no intentar calcularlo con $a=3$ , $b=4$ , y luego con $a=4$ , $b=3$ , para ver si obtienes la misma respuesta?
@Gerry Myerson O podríamos ver el boceto que agregué e intuir por razonamiento geométrico que la proporción relativa a/b no hace ninguna diferencia en la construcción o las relaciones.

Martín R. · Answer 1

Supongamos que el triángulo no es degenerado, de modo que ambos $a$ y $b$ son distintos de cero.

Escribir la serie como

\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sum_{norte = 0}^{\infty} {(\frac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}})}^{norte}

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{b^2}{a^2+b^2}\right)^n$ muestra que se trata de una serie geométrica. converge desde

\frac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}} < 1

$\frac{b^2}{a^2+b^2} < 1$ . No se requiere para la convergencia que

a \leq b

$a \le b$ .

El valor de la serie es

\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cdot \frac{1}{1 - b^{2} / (a^{2} + b^{2})} = \sqrt{a^{2} + b^{2}},

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \frac{1}{1-b^2/(a^2+b^2)} = \sqrt{a^2+b^2} \, ,$ como se esperaba. El mismo valor se obtiene si

a

$a$ y

b

$b$ se intercambian, ya que

\frac{a^{2}}{b^{2} + a^{2}} < 1

$\frac{a^2}{b^2+a^2} < 1$ también.

Escrito como una serie geométrica, vuelve la apariencia de simetría. Todos nuestros instintos geométricos sugieren que debe ser simétrico y, sin embargo, escrito en la forma en que lo presenté, parece sorprendentemente antisimétrico.
@ChristopherEmery " asombrosamente antisimétrico " $\;-\;$ La construcción geométrica no es simétrica en $a,b$ para empezar. El resultado final es equivalente a $\,(1-x) \sum x^n = x \sum (1-x)^n = 1\,$ donde la simetría en $x, 1-x$ puede ser más obvio.
@dxiv: $(1-x) \sum x^n = x \sum (1-x)^n$ – Esa es una buena observación. ¡Tendrías mi voto si quieres agregarlo como respuesta!
@dxiv De hecho, la construcción no es simétrica (una vez que se elige un lado), pero la partición se puede realizar en cualquiera de las dos direcciones, a lo largo del cateto a o b. La simetría se encuentra entre esas dos opciones. Sin embargo, estoy de acuerdo con Martin; la tuya es una observación astuta.
@ChristopherEmery La simetría se vuelve aún más obvia en forma trigonométrica.
@MartinR Gracias. Creció demasiado para un comentario, así que lo publiqué como respuesta.

dxiv · Answer 2

La igualdad $\,\displaystyle c=a^2\sum_{n=1}^\infty\frac{b^{2n-2}}{(a^2+b^2)^{\frac{2n-1}2}}\,$ con $\,c = \sqrt{a^2+b^2}\,$ se puede reescribir como:

\frac{a^{2}}{a^{2} + b^{2}} \sum_{norte = 0}^{\infty} {(\frac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}})}^{norte} = 1

$\frac{a^2}{a^2+b^2} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{b^2}{a^2+b^2}\right)^n = 1$

Con $\displaystyle\,x = \frac{b^2}{a^2+b^2} \lt 1\,$ esto se reduce a la expansión en serie de $\displaystyle\,\frac{1}{1-x}\,$ :

(1 - X) \sum_{norte = 0}^{\infty} X^{norte} = 1

$(1-x) \, \sum_{n=0}^\infty x^n = 1$

la sustitución $\,x \mapsto 1-x\,$ da la forma simétrica:

X \sum_{norte = 0}^{\infty} (1 - X)^{norte} = 1 ⟺ \frac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \sum_{norte = 0}^{\infty} {(\frac{a^{2}}{a^{2} + b^{2}})}^{norte} = 1

$x \, \sum_{n=0}^\infty (1-x)^n = 1 \;\;\;\;\iff\;\;\;\; \frac{b^2}{a^2+b^2} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{a^2}{a^2+b^2}\right)^n = 1$

En la pregunta de OP $\,x = \sin^2 B\,$ , por lo que la igualdad también se puede escribir en forma trigonométrica como:

{porque}^{2} B \sum_{norte = 0}^{\infty} {pecado}^{2 norte} B = 1

$\cos^2 B \, \sum_{n=0}^\infty \sin^{2n} B = 1$

la sustitución $\,B \mapsto \dfrac{\pi}{2}-B\,$ da la forma dual:

{pecado}^{2} B \sum_{norte = 0}^{\infty} {porque}^{2 norte} B = 1

$\sin^2 B \, \sum_{n=0}^\infty \cos^{2n} B = 1$

Somos · Answer 3

Tu observación es que dado un triángulo rectángulo en el plano, la línea perpendicular a la hipotenusa al ángulo recto divide el triángulo rectángulo en dos triángulos similares al dado. Ahora suponga que se elige el subtriángulo más grande y ahora divídalo como en el triángulo rectángulo original y continúe el proceso para obtener el diagrama en su pregunta. La hipotenusa se divide, como notaron, en segmentos de línea cuyas longitudes forman una serie geométrica cuya suma es la longitud de la hipotenusa.

Sin embargo, supongamos que en su lugar se elige el triángulo más pequeño. Luego forma una partición hipotenusa diferente y otra serie geométrica que debe tener la misma suma. Ahora suponga que el proceso de partición se realiza en todos los subtriángulos que tienen un lado a lo largo de la hipotenusa. Luego, la partición del segmento de línea de la hipotenusa forma una serie geométrica doblemente indexada. Así se hace evidente la simetría de la suma. Esta nueva serie es

C \sum_{norte = 1}^{\infty} \sum_{metro = 1}^{\infty} \frac{b^{2 norte} a^{2 metro}}{C^{2 norte + 2 metro}} = \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{b^{2 norte}}{C^{2 norte - 1}} \frac{a^{2}}{b^{2}} = \sum_{metro = 1}^{\infty} \frac{a^{2 metro}}{C^{2 metro - 1}} \frac{b^{2}}{a^{2}} = C .

$c\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty \frac{b^{2n}a^{2m}}{c^{2n+2m}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{b^{2n}}{c^{2n-1}} \frac{a^2}{b^2} = \sum_{m=1}^\infty \frac{a^{2m}}{c^{2m-1}} \frac{b^2}{a^2} = c.$

Me inspiré a reflexionar sobre este tipo de "cálculo sin cálculo" por la solución de Arquímedes al área delimitada por una parábola y una línea no especial que intersecta la parábola en dos puntos. Su solución no emplea coordenadas y el método de agotamiento, concluyendo con un análisis de series geométricas basado en razones simples.

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