¿Hay brechas principales de todos los tamaños?

¿Es cierto que para todo número natural par k existe algo norte ∈ norte tal que gramo norte = pag norte + 1 − pag norte = k ?

No sé cómo abordar el problema en absoluto y, de hecho, ni siquiera sé lo suficiente sobre los espacios primos como para hacer una conjetura sobre la respuesta. Siento que la respuesta es "sí", pero solo porque eso sería "mejor" que tener algunos números enteros pares que nunca aparecen en la secuencia de espacios primos.

¡Espero que no sea un problema sin resolver!

Editar: mi pregunta es distinta de la conjetura de Polignac, ya que pregunto si hay al menos un espacio principal, en lugar de infinitos espacios principales, para cada tamaño.

Tienes una fuente? Me gustaría leer más sobre esto si es un problema abierto.
Creo que es un problema sin resolver conocido como la Conjetura de Polignac .
@ user170039 mi pregunta es distinta de la conjetura de Polignac. Pregunto si hay al menos un hueco principal de cada tamaño, no infinitos huecos primos de cada tamaño.

Respuestas (2)

Parece abierto si todo número par es la diferencia de dos números primos, y mucho menos de números primos consecutivos. Aquí hay una pregunta m.se que menciona eso y una pregunta mo aquí

Para norte un entero positivo, los números

( norte + 1 ) ! + 2 , ( norte + 1 ) ! + 3 , . . , ( norte + 1 ) ! + norte + 1
son norte enteros compuestos consecutivos. ¿Esto ayuda?

No, esto no ayuda. OP preguntó acerca de un par de números primos que tienen una diferencia dada. Encontrar un largo tramo de no primos no habla de esto en absoluto.
Creo que es injusto decir que esto "no habla de esto en absoluto". Este resultado está claramente relacionado, por ejemplo, en cualquier momento (n+1)!-1 y (n+1)! + (n+2) son primos, esto daría una solución para k = n+3.
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