¿Es el impulso galileano en realidad una transformación de calibre?

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¿Es el impulso galileano en realidad una transformación de calibre?

Física
teoría de campo
teoría de calibre
invariancia de calibre
mecanica clasica
relatividad galileana

Bot feudalista libertario

En física elemental, es bien sabido que la ley de Newton

\vec{F} = metro \vec{a}

$\vec{F}=m\vec{a}$

es invariante bajo transformaciones de Galileo. Sin embargo, la relatividad galileana no se presenta en detalle en los libros de texto ordinarios sobre Mecánica Cuántica y Mecánica Clásica. Ingenuamente, uno suele tratar al grupo de Galileo como una simetría del espacio-tiempo (es decir, simetría global y física), al igual que la simetría de Lorentz en QFT.

En QFT relativista, generalmente se aplica el teorema de Noether para encontrar cantidades conservadas asociadas con estas simetrías globales, como la energía, el momento y el momento angular, etc., porque las transformaciones de Lorentz son rígidas.

Sin embargo, no es el caso en una transformación galileana genérica, que se muestra a continuación.

t^{'} = t + a, {\vec{r}}^{'} = R \vec{r} + \vec{v} t + \vec{b},

$t^{\prime}=t+a,\quad\vec{r}^{\prime}=R\vec{r}+\vec{v}t+\vec{b},$

dónde $a\in\mathbb{R}$ , $\vec{v}$ , $\vec{b}\in\mathbb{R}^{3}$ , y $R\in O(3)$ .

En las ecuaciones anteriores, un impulso galileano puro depende claramente del parámetro de tiempo. En otras palabras, la transformación de una trayectoria clásica en el Lagrangiano $L(\dot{\vec{r}})$ depende explícitamente de $t$ , por lo que esta es una transformación local (es decir, calibre).

Para ser específico, estoy hablando de la siguiente transformación de una trayectoria de una partícula clásica (no estoy hablando de la teoría de campos)

\vec{r} (t) \to \vec{r} (t) + \vec{v} t,

$\vec{r}(t)\rightarrow\vec{r}(t)+\vec{v}t,$

que claramente depende del parámetro $t$ . Para ser aún más específicos, esta transformación toma la forma

\vec{r} (t) \to \vec{r} (t) + \vec{F} (t),

$\vec{r}(t)\rightarrow\vec{r}(t)+\vec{f}(t),$

dónde $\vec{f}(t)=\vec{v}t$ es una función lineal de $t$ . En otras palabras, esta transformación en Mecánica Clásica no es rígida.

Para evitar más información irrelevante en la sección de comentarios, tenga en cuenta que el $c\rightarrow\infty$ límite del grupo de Lorentz no es el grupo de Galilei. Esto fue aclarado por David Bar Moshe y Qmechanic ♦ aquí . A diferencia del grupo de Lorentz, el grupo de Galilei tiene una extensión central no trivial , parametrizada por la masa de la partícula newtoniana libre. Cuando se levanta su representación proyectiva , se llega a la representación lineal de su extensión central universal .

Sin embargo, a diferencia de las transformaciones de calibre en QED que dejan invariable la densidad lagrangiana, un impulso galileano cambia el lagrangiano de una partícula libre no relativista por una derivada total.

En QFT, hay una gran diferencia entre una simetría física (global) y una redundancia de calibre (local). Las simetrías físicas están en representaciones unitarias irreducibles que asignan estados a otros estados, mientras que las redundancias de calibre están en representaciones triviales que dejan los estados cuánticos invariantes. Entonces, ¿qué está pasando aquí con las transformaciones galileanas? Su subgrupo euclíeo es claramente físico, pero su impulso puro parece casi una transformación de indicador.

cris

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Respuestas (1)

¿Es el impulso galileano en realidad una transformación de calibre?

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Oro · Answer 1

El espacio-tiempo de Galileo es $\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3$ . El grupo galileano es el grupo de todas las transformaciones galileanas $(R,\vec{v},\vec{a},s)$ dónde $R\in {\rm SO}(3)$ , $\vec{v},\vec{a}\in \mathbb{R}^3$ y $s\in \mathbb{R}$ , con la propiedad de que un evento $(t,\vec{x})$ se transforma en

\begin{matrix} (1) & (R, \vec{v}, \vec{a}, s) \cdot (t, \vec{X}) = (R \vec{X} + \vec{v} t + \vec{a}, t + s) . \end{matrix}

$(R,\vec{v},\vec{a},s)\cdot (t,\vec{x})=(R\vec{x}+\vec{v}t+\vec{a}, t+s).\tag{1}$

Ahora, la distinción entre simetrías locales y globales radica en si los parámetros que especifican la transformación son constantes o funciones. En otras palabras: ¿la transformación actúa de la misma manera en todas partes o actúa de manera diferente en cada punto?

Como puede ver en (1), los parámetros de transformación, $R$ , $\vec{v}$ , $\vec{a}$ y $s$ están todos arreglados. No varían de un punto a otro. Esta no es una transformación local de ninguna manera.

Por supuesto $t$ aparece en el lado derecho de (1), pero es porque $t$ forma parte de los datos que especifican el punto sobre el que actúa la transformación. Una simetría global tiene parámetros que no dependen del punto , pero por supuesto el resultado de una aplicación particular a un punto particular dependerá del punto.

Compare esto con las transformaciones de calibre de QED. Pensando en la acción sobre el potencial de calibre $A_\mu(x)$ es

\begin{matrix} (2) & A_{m} (X) \mapsto A_{m} (X) + \partial_{m} λ (X) . \end{matrix}

$A_\mu(x)\mapsto A_\mu(x)+\partial_\mu \lambda(x)\tag{2}.$

El parámetro que especifica la transformación es $\lambda(x)$ y varía de un punto a otro. (2) es local, (1) no lo es.

¿Puedes escribir un impulso galileano puro y mostrarme que no depende de $t$ ?
Partamos de una trayectoria clásica. $\vec{x}(t)$ . Un impulso galileano puro lo transforma en $\vec{x}(t)\rightarrow\vec{x}(t)+\vec{v}t$ . ¿Puedes mostrarme que esta transformación no es $t$ -¿dependiente?
Una transformación se especifica mediante un elemento de grupo y es local cuando el elemento de grupo depende del punto en el que se aplica la transformación. Aquí el elemento de grupo se especifica mediante $\vec{v}$ y $\vec{v}$ no depende de $t$ .
Para comparar con QED considere el global ${\rm U}(1)$ actuando sobre el fermión: $\psi(x)\to e^{i\lambda}\psi(x)$ . Infinitamente es $\psi(x)\to \psi(x)+i\lambda \psi(x)$ . es mundial ${\rm U}(1)$ porque $\lambda \neq \lambda(x)$ . Aún, $\psi(x)$ depende de $x$ . estas diciendo eso $\vec{x}(t)\to \vec{x}(t)+\vec{v}t$ es una transformación local porque el cambio es $\vec{v}t$ Dependiendo de $t$ es como decir que la transformación del fermión aquí es local porque el cambio es $i\lambda \psi(x)$ Dependiendo de $x$ a través de $\psi$ .
Un impulso galileano infinito no depende de $t$ . Este impulso galileano es una gran transformación.
Tu ejemplo anterior es muy incómodo. Una simetría global no te permite tener una transformación infinitesimal. Una transformación infinitesimal, por definición, se define solo cuando tiene una familia continua de transformaciones de un parámetro, lo que implica que se trata de transformaciones no rígidas. Claramente no se puede comparar con mi Galilean Boost.
Lo siento, pero tengo que estar en desacuerdo. Creo que debe asegurarse de tener las definiciones correctas de simetrías locales/globales. No hay absolutamente ningún problema en considerar una familia de transformaciones globales de un solo parámetro. Global simplemente significa que el parámetro de simetría, es decir, el elemento del grupo, no depende del punto particular del espacio-tiempo. Considerando $e^{i\lambda}\psi(x)$ con $\partial_\mu\lambda=0$ y expandiendo para infinitesimales $\lambda$ no tiene absolutamente nada de malo.
He encontrado varios artículos y libros sobre teoría de grupos que hablan de este problema. Los leeré y publicaré la respuesta. Por el momento lo que puedo decir es que tu ejemplo no tiene sentido para mí. Asumamos $\lambda$ es muy pequeño, luego escribirlo como $\psi+i\lambda\psi$ es solo una forma elegante de escribir la misma ecuación. No es comparable con un impulso galileano, que es una traducción dependiente del tiempo.
La diferencia es que en tu ecuación, el $(x,t)$ -la dependencia solo viene de $\phi(x)$ sí mismo, pero en un impulso galileano, solo proviene de la traducción lineal $vt$ .

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