¿Es el campo de Maxwell la función de onda del fotón?

Weinberg tiene razón.

El problema aquí es con la interpretación habitual de la función de onda como una densidad de amplitud. Esto implica poder localizar la partícula en una región arbitrariamente pequeña. Sin embargo, no es posible localizar fotones (o cualquier partícula sin masa con giro, para el caso).

La razón de esto es la definición cuidadosa de lo que significa matemáticamente la localización. Significa que debe existir un operador de proyección con ciertas propiedades que intuitivamente correspondan a la idea de medir una partícula en un lugar dado. Para una partícula masiva, uno puede mostrar que tal operador de proyección existe mirando el pequeño grupo (el subgrupo de transformaciones de Lorentz que dejan el "marco de reposo" invariante). Debido a que hay un marco de reposo para la partícula masiva, el pequeño grupo es$SO(3)$, el grupo de rotaciones espaciales tridimensionales. Si "cociente" el pequeño grupo, solo le quedan impulsos, y dado que el espacio de impulsos es homeomorfo a$\mathbb{R}^3$, puede usarlos para definir un operador de posición. Una partícula que se "localiza" significa que no se le permite realizar traducciones sin cambiar la descripción del estado físico. En otras palabras, localizar una partícula rompe la simetría traslacional. Hasta aquí todo bien.

Para una partícula sin masa, no hay marco de reposo, por lo que debe decir que el impulso de la partícula se encuentra a lo largo de una dirección espacial y considerar qué transformaciones dejan el impulso invariante. Entonces, el pequeño grupo es$ISO(2)$, el grupo de traslaciones y rotaciones en el plano ortogonal al momento. Ya empezamos a ver el problema: el grupito se está "entrometiendo" en las posibles caracterizaciones de los estados de posición. Esto no es un problema para una partícula sin espín, entrometerse, pero para una partícula vectorial, las traducciones corresponden a transformaciones de calibre, lo que significa que no puede proyectar estados que rompan la simetría de traducción sin romper también la invariancia de calibre, un gran no. no. Entonces, un fotón no se puede localizar de manera convencional, con un campo de Maxwell para una "función de onda" o cualquier otra cosa.

Una forma más heurística de decir lo mismo es imaginarse multiplicando el campo de Maxwell por un operador de posición. En el vacío se supone que no tiene divergencias, pero cualquier función escalar que dependa de la posición rompe esta condición. Lo que Wightman ha demostrado es que es imposible construir un operador de posición de manera consistente, escalar o no.

He bastardeado una larga historia matemática, así que te animo a leer las referencias originales. Si no está familiarizado con el pequeño grupo y las clasificaciones de partículas en el grupo de Poincaré, le recomiendo que comience con el capítulo 2 de Weinberg Vol. 1. Luego lea aquí para la prueba original de Newton y Wigner, aquí para la construcción más general de Wightman, y esto y esto para nociones más débiles de localización de fotones que en realidad tienen sentido pero descartan interpretar el campo de Maxwell como una función de onda.

PD: En caso de que se lo pregunte, la segunda observación de Weinberg de que el campo de Klein-Gordon no puede interpretarse como una función de onda también es correcta. Aquí, sin embargo, nos dirigimos a la historia estándar sobre los estados de energía negativa y la propagación fuera del cono de luz que puede ver en casi cualquier libro de texto de QFT.

Función de onda para$N$partículas es una función escalar de$3N$coordenadas espaciales.

Función de onda para$N$los fotones, si se les llama así, también deberían ser una función escalar de$3N$coordenadas espaciales.

El campo EM, por otro lado, es una función vectorial de 3 coordenadas espaciales.

Cualquier función de onda elegida no es única; hay muchas funciones de onda diferentes, relacionadas por transformación de calibre que conducen a las mismas probabilidades y no importa cuál se use.

Por otro lado, cualquier campo EM elegido es único; diferentes campos conducen a diferentes resultados (fuerzas).

Creo que Weinberg está tratando de hacer una distinción entre dos puntos de vista de las partículas cuánticas, uno histórico (aunque todavía lo usamos cuando pensamos y enseñamos mecánica cuántica no relativista) y uno moderno.

En la mecánica cuántica no relativista, normalmente comenzamos asumiendo la existencia de "partículas" familiares para nosotros de la mecánica clásica, por ejemplo, electrones. Luego asociamos una función de onda con cada una de esas partículas para describir su comportamiento cuántico. En un sentido vago, en la mecánica cuántica normal la partícula "es" su función de onda.

Sin embargo, en la teoría cuántica de campos, ya no partimos de la imagen de las partículas. Los objetos fundamentales son campos cuánticos. Estos campos no son funciones de onda, sino operadores que actúan sobre estados. Cuando cuantificamos estos campos, podemos describir las excitaciones de los campos en términos de partículas con las que estamos familiarizados. Las partículas no son objetos distintos por derecho propio, sino excitaciones localizadas de los campos.