¿Podemos afirmar que las matemáticas son finitas?

En realidad, es todo lo contrario. Aquí hay una descripción general simplista de por qué: suponga que hace una cantidad finita de matemáticas (demuestra una cantidad finita de teoremas de un conjunto finito de axiomas). Pero por los teoremas de incompletitud, hay algunos teoremas que simplemente no se pueden probar. Por lo tanto, ninguna cantidad finita de matemáticas es suficiente para abarcar todas las matemáticas.

Es instructivo observar un estudio de caso específico de cómo se ven realmente situaciones como estas en el curso de investigación matemática. El primer caso, y todavía el más famoso, es la antigua cuestión de si el postulado de las paralelas de Euclides (PP) se puede derivar o no como un teorema de los primeros cuatro axiomas (el postulado establece que hay como máximo una línea que se puede trazar paralela a otra dado uno a través de un punto externo).

Una forma en que los geómetras plantearon este problema fue intentar volver a probar todos los viejos resultados euclidianos desde cero sin invocar el axioma de las paralelas, y ver hasta dónde podían llegar. Este sistema de geometría, Euclidiana menos paralelos, se llama Geometría Neutral porque es neutral acerca de si el axioma paralelo es verdadero o no. La pregunta es entonces, ¿termina la Geometría Neutral siendo equivalente a la Geometría Euclidiana de todos modos?

Y, por supuesto, fallaron una y otra vez en probar PP dentro de la geometría neutral, por lo que eventualmente comenzaron a enfocar su investigación en enfoques más indirectos, como considerar lo que implicaría tomar "PP es falso" como un axioma y presumiblemente algo absurdo resultaría. Una forma de falsificar PP es decir que podemos encontrar al menos dos líneas paralelas a través de un punto, en contraste con como máximo una. Siguieron resultados contrarios a la intuición, pero sorprendentemente se demostró que este sistema era consistente a pesar de todo, y pasó a llamarse geometría hiperbólica. Mientras que antes la geometría era un solo sistema unificado codificado por Euclides, tanto completo como consistente, se demostró que no era más que el tronco de una familia de geometrías* que se ramificaba constantemente.

Esto es lo que realmente hace que las implicaciones de los teoremas de incompletitud de Gödel sean tan profundas. Garantiza la apertura de las matemáticas. Al principio había geometría y aritmética, luego álgebra y finalmente cálculo/análisis. El tema de las matemáticas podría entenderse en términos completamente taxonómicos: espacio, cantidad, estructura y cambio. Pero hoy podemos ver que las matemáticas exceden cualquier definición en términos de materia. On podría decir que las matemáticas son más un arte: el arte de ser creativamente lógico a través de los medios de la abstracción.

Desde una perspectiva puramente teórica, las matemáticas se ven fácilmente como infinitas, en el sentido de que contienen una cantidad infinita de teoremas. ¿Por qué? Simplemente puede producir una máquina que escupe afirmaciones matemáticas verdaderas sin fin. Por ejemplo (si uno es perezoso): 1 = 1, 1+1 = 1+1, 1+1+1 = 1+1+1,... Por supuesto, estos son casos especiales de una regla general que x = x para cualquier x, cualquiera que sea esta x. Pero no creo que haya una línea matemáticamente definible para dividir tales "declaraciones triviales" de "verdaderos teoremas matemáticos".

Si aceptas que la aritmética de enteros habla de un objeto universal que simplemente "es", entonces el teorema de incompletitud de Gödel te dice (entre otras cosas) que para describir la aritmética necesitas una cantidad infinita de axiomas . Esta es una declaración bastante fuerte, y va en la dirección opuesta a su hipótesis: las matemáticas son muy infinitas. No es solo que haya infinitos teoremas, hay infinitas reglas básicas que no se pueden derivar de las reglas con las que comienzas. Si desea hacer matemáticas de una manera puramente formal (simplemente transformando fórmulas, sin referencia a su significado), entonces ni siquiera puede decir qué es la aritmética de enteros (en tiempo finito).

Por supuesto, las observaciones anteriores se refieren a las (meta)matemáticas puramente teóricas. Si pensamos en las matemáticas como algo que hacemos en nuestro universo particular, y aceptamos que este universo es de algún modo finito en principio (o que nuestra civilización tiene una duración finita, o que los seres humanos tienen una aptitud finita para las matemáticas, etc.) ), entonces las matemáticas también son finitas, como se señaló en otra respuesta.

Hay una manera mucho más fácil de demostrar que 'las matemáticas son finitas'. Supongamos que el universo tiene un tiempo de vida finito. Entonces, la raza humana tiene solo una cantidad finita de tiempo para probar teoremas, por lo tanto, ¡solo puede haber una cantidad finita de teoremas probados!

Tome cualquier matemática expresada como un conjunto de axiomas y enumere todas las pruebas posibles, este proceso no se detendrá, pero en teoría está probando todos los teoremas posibles en este sistema axiomático. ¡Por supuesto que no ha exhibido una sola prueba significativa, que generalmente es el objetivo de formar un sistema axiomático y probar un teorema! Lo que esto muestra es que el conjunto de teoremas es numerable. Ahora, desde la perspectiva de cualquier gran axioma cardinal, la contabilidad es pequeña. Entonces, no ha demostrado que las verdades matemáticas enumeradas por este conjunto de axiomas son finitas, sino que son pequeñas, para una idea adecuada de pequeño.

Por supuesto, no estoy siendo particularmente serio anteriormente, ya que esto pierde el objetivo de las matemáticas, que es generar nuevas ideas, preguntas, teoremas y pruebas significativas.