Este es un tema extremadamente amplio, pero hay algunos conceptos que podemos presentar para que comiences. Los términos "infinito real" e "infinito potencial" no se usan realmente en matemáticas, pero parecen relacionarse con una distinción que se hace: los ordinales frente a los cardinales. También hay una variedad de tamaños de infinito dentro de cada categoría, que discutiremos brevemente.

Una nota sobre la tipografía: Desafortunadamente, la filosofía.stackexchange no parece ser compatible con las matemáticas de composición tipográfica (si hay una manera de hacerlo, que alguien me lo haga saber). Así que suponga que A_i significa A con el subíndice i. A_{i+1} significa A con el subíndice i+1.

Tipos de infinitos

Examinemos cada uno de estos utilizando los números naturales, ℕ, y la función sucesora de la aritmética de Peano: S(n) = n + 1 para todos los números naturales n.

∞ se puede usar para representar cualquier tipo o tamaño de infinito, y puede aparecer cuando el contexto aclara con cuál estamos tratando. Pero también existen notaciones más precisas, que usaremos exclusivamente aquí.

Infinito potencial

Considere una secuencia que no tiene un elemento mayor, pero para la cual todos los elementos son finitos. por ejemplo, sea A una sucesión tal que A_0 = 0 y A_{i+1} = S(A_i). Todo A_i es un número natural finito, pero no hay elemento mayor. Los elementos de A son, pues, potencialmente infinitos.

infinito real

El conjunto de los números naturales, ℕ. En realidad , hay un número infinito de ellos, no solo un número arbitrariamente grande. Esto se relaciona con el infinito potencial en que ℕ se puede definir de la siguiente manera:

• 0 está en ℕ
• Si n está en N, entonces S(n) está en ℕ.

Es decir, A contiene exactamente los mismos elementos que ℕ. La única diferencia entre la secuencia y el conjunto es que la secuencia está ordenada. Entonces parecería que no hay una distinción especialmente significativa entre infinitos "potenciales" y "reales". Pero hay una distinción significativa entre el tamaño de A en sí mismo y el tamaño de los elementos individuales de A. Y eso nos lleva a los cardinales y ordinales.

cardenales

Los cardinales se utilizan para contar el número de elementos de un conjunto.
La notación estándar para el tamaño del conjunto A es |A|. El valor de |A| es siempre un cardenal. Los cardinales pueden ser finitos o infinitos. por ejemplo |{1,2,3}| = 3.

Si el conjunto es realmente infinito, usamos los números aleph (ℵ) para representarlos. ℵ_0 es la cardinalidad de los números naturales: ℵ_0 = |ℕ|, y es la cardinalidad más pequeña de las infinitas .

ordinales

Los ordinales se utilizan para establecer un orden sobre un conjunto. Los ordinales en sí mismos están completamente ordenados y, por lo tanto, si podemos establecer un mapeo uno a uno entre cualquier conjunto y los ordinales, podemos establecer un buen orden en el conjunto. En el ejemplo de A, eso implica asignar el subíndice al valor del elemento. Dado que A_i = i, es trivial hacerlo: f(i) = i.

Para los ordinales finitos, solo usamos los números naturales, al igual que para los cardinales, ya que el contexto deja claro si estamos hablando de ordinales o de cardinales.

También hay ordinales infinitos, pero funcionan de manera un poco diferente a los cardinales infinitos, ya que se definen (al menos parcialmente) como límites. El primer ordinal infinito, ω, se define como el ordinal más pequeño que es mayor que todos los números naturales.

ω es el ordinal límite del conjunto A: A_i < ω para todo i.

Resumen

Así que tenemos nuestro conjunto, A, que podemos llamar ℕ en este punto ya que eso es lo que es:

• ℕ_0 = 0, ℕ_{i+1} = S(ℕ_i).
• Para todo i, ℕ_i < ω.
• |ℕ| = ℵ_0

La idea de infinitos "potenciales" frente a "reales" es algo inestable, pero la idea básica se puede poner sobre una base más rigurosa al diferenciar el orden de los elementos de un conjunto frente a la cantidad de elementos en el conjunto.

Tamaños de infinitos

Esta sección es menos relevante para su pregunta inicial, por lo que la separé de la respuesta principal, pero es importante si desea obtener una comprensión profunda de los infinitos.

cardenales

Se considera que dos conjuntos infinitos tienen la misma cardinalidad si podemos establecer una correspondencia uno a uno entre ellos.

Por ejemplo, el conjunto de todos los enteros, ℤ, tiene la misma cardinalidad que el conjunto de ℕ, lo que podemos demostrar de la siguiente manera: Sea a un miembro arbitrario de ℤ. Si a es negativo, lo asignamos a -2a-1. Si a no es negativo, lo asignamos a 2a. Esto da como resultado que cada elemento de ℕ se asigne a un elemento único de ℤ, y viceversa, por lo que podemos decir que los conjuntos tienen el mismo tamaño.

Por otro lado, no podemos hacer esto con los números reales. La demostración, usando la Diagonalización de Cantor , es un poco larga de explicar aquí, pero entenderla te ayudará mucho a entender los infinitos. La cardinalidad de los reales puede ser el siguiente elemento en el conjunto de cardinales, ℵ_1, pero esto no ha sido probado . Hay un número infinito de cardinalidades.

En la práctica (al menos en mi campo), podemos clasificar los cardinales infinitos como "infinitos contables", los de cardinalidad ℵ_0, o "infinitos incontables", que son de cualquier otro tamaño.

ordinales

También hay un número infinito de ordinales. Después de ω, tenemos ω+1, ω+2, etc. Después de todo eso, tenemos ω+ω = 2ω. Y así.

Según la página de The Logic Museum sobre Filosofía del Infinito ¹ , la distinción se remonta a Aristóteles, a quien se le atribuye "infinitum actu non datur": que el infinito real no existe ² . Los detalles de sus puntos de vista y argumentos son lo suficientemente complicados como para ser sus propias preguntas. Sin embargo, como resultado, la idea del infinito potencial, algo que puede continuar sin implicar ningún fin, se considera bien establecida en la tradición filosófica. Por el contrario, no siempre está claro qué significa que algo sea infinito y reducible a un agregado al mismo tiempo. En un caso, Aristóteles parece argumentar que no podemos esperar que una línea sea realmentecompuesto por un número infinito de puntos (en oposición a potencialmente divisible en infinitos segmentos) cuando no podemos encontrar dos puntos adyacentes (y por lo tanto capaces de abarcar el continuo).

En la antigüedad, esto era relevante para cosas como la teoría atómica de Leucipo y Demócrito, y la paradoja de Zenón. Pero la distinción ha sido importante para muchos filósofos en una variedad de contextos desde entonces (cf. Logic Museum). En parte, la estima del infinito potencial sobre el infinito real es testimonio del legado de Aristóteles en la filosofía occidental. Por ejemplo, creo que muchos filósofos teístas argumentarían a favor de ambos.

En tiempos relativamente modernos, la pregunta experimentó una especie de renacimiento durante el desarrollo de la teoría axiomática de conjuntos . Dedekind, Cantor y otros abordaron el problema en esa época y se desarrollaron muchas preguntas relacionadas con conjuntos infinitos (por ejemplo, la hipótesis del continuo y el axioma de elección). Estos se volvieron de particular importancia ya que la teoría de conjuntos transfinitos basada en ZFC (los axiomas de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección) se estaba convirtiendo en un sistema viable en el que formalizar los fundamentos modernos de las matemáticas.

Hoy en día, la teoría de conjuntos transfinitos es la base más aceptada de las matemáticas. Debido a esto, la idea de conjuntos realmente infinitos es tan común y útil que la pregunta ha perdido parte de su significado. En este contexto, la idea de que un infinito potencial implica un infinito real es plausible al menos en un sentido lógico o inmanente. Creo que la pregunta sigue siendo interesante desde la perspectiva de la ontología, los fundamentos alternativos de las matemáticas, las alternativas a ZFC en la teoría de conjuntos y en otros contextos históricos y relacionados. También hay algunos aspectos matemáticos interesantes, por ejemplo, en teoría y análisis de conjuntos, pero creo que sería mejor preguntarlos en MathOverflow.

1: The Logic Museum 's Philosophy of the Infinite tiene una selección de citas y algunos escritos sobre tratamientos del infinito por parte de Aristóteles y filósofos posteriores.
2: Ver, por ejemplo, Parte V en Física , Libro III

Responderé a su pregunta de por qué los infinitos potenciales parecen ser más estimados epistémicamente. La razón es que el infinito potencial es posible y el infinito real o acabado (como lo ha llamado su inventor Georg Cantor) es imposible.

Infinito potencial : cada número natural al que me puedo referir pertenece a un segmento inicial finito al que siguen potencialmente infinitos números naturales. Un conjunto infinito es mucho más grande que todo conjunto finito. Por lo tanto, casi todos los números naturales no pueden referirse individualmente.

Infinito real : Todos los números naturales pueden ser referidos individualmente.

Esto último es obviamente imposible si la mayoría de los números está siempre más allá del número natural al que se hace referencia. También puedes comprobarlo experimentalmente. Referirse a cualquier número natural. Pertenece a un pequeño segmento inicial como lo prueba el hecho de que multiplicarlo por un factor arbitrariamente grande da como resultado también un número natural.

Por lo tanto, la mayoría de los filósofos y matemáticos (excepto la pequeña secta de teóricos de conjuntos) estiman y se adhieren al infinito potencial.

Esto requiere una precisa clarificación conceptual incluso para llegar a la superficie de las concepciones en juego, y esto antes de ver qué motivaciones tuvieron los diversos pensadores para aferrarse a tal o cual concepción. La respuesta depende del buscador del concepto y de cómo busca el concepto de infinito. Si la esencia del infinito es pensada como ilimitada, lo que significa que algo que se le agregue nunca lo agotará, entonces es real en el sentido de que ahora, en este momento, es capaz de recibir cualquier cosa para sí mismo sin agotarse. Es claro que esta concepción del infinito es muy diferente a la que pensaría la esencia del infinito en todas las cosas que lo componen positivamente como un número existente de partes. De modo que cada parte tiene una parte junto a ella, sin excluir ninguna.

El sentido del infinito de Aristóteles, que lo que está allí no es agotable, no es del todo claro acerca de lo que significa potencial. ¿Es el caso de una especie de gallina de los huevos de oro, donde lo que sale siempre se derramará en cuarto lugar mientras el potencial real ( energía ) del infinito no sea eliminado de alguna manera? En cualquier caso, por mucho óxido y decadencia que se haya depositado en la reflexión propiamente filosófica sobre este tema, no veo dónde podría estar obviamente más que en una fuente infinita de investigación atenta y fértil.

El infinito existe y no puede ser atravesado, completado; el infinito es un agujero negro, pero puede ser sublimado y trascendido. Proceso (infinidad mala) para siempre, ley (infinidad real) eterna; el proceso es una variable, la ley es una constante; El infinito no se puede cruzar, pero se puede trascender, el resultado de la trascendencia es un infinito real. La existencia del infinito y la incompletud del proceso son dos conceptos completamente diferentes, son dos aspectos de la contradicción y no pueden ser reemplazados el uno por el otro; es precisamente por su existencia que existe la contradicción entre la finitud y el infinito. El infinito, como un agujero negro, puede entrar sin salir, infinito, nunca terminar. La visión infinita del materialismo dialéctico insiste en la inextinguibilidad de este tipo de contradicción, y sostiene que el infinito existe objetivamente y puede reconocerse, pero el proceso infinito no puede completarse, es decir, la contradicción infinita es eterna; Por otro lado, la visión del infinito actual considera la existencia objetiva del infinito como la culminación del proceso infinito, reemplazando lo subjetivo con lo objetivo, reemplazando el infinito malo con el infinito real, abandonando completamente la contradicción entre finitud e infinito, y pensando que la contradicción puede ser terminada y resuelta. Por lo tanto, este pensamiento siguió el pensamiento infinito trascendental, subjetivo, metafísico de Kant, no el pensamiento infinito dialéctico de Hegel. Por lo tanto,

La llamada Paradoja del Intercambio Infinito se refiere a la idea de que usamos el pensamiento del infinito real-----es decir, la idea de que el proceso infinito se puede lograr, y podemos transformar los dos infinitos equivalentes (con uno a -una correspondencia) en infinitos mutuamente no equivalentes. Esto expone profundamente los defectos inherentes al pensamiento infinito actual, lleva la contradicción al infinito, pero la contradicción nunca desaparece. En otras palabras, el proceso infinito es imposible de completar, lo que respalda aún más la visión infinita del materialismo dialéctico (que se especificará en un capítulo posterior).

Para resumir, presentamos exhaustivamente el infinito dialéctico de Hegel, y también presentamos la herencia crítica de Engels y el desarrollo de la visión infinita de Hegel, también presenta las diferencias entre los cuatro tipos de visiones infinitas y analiza los errores del infinito real; así que ahora podemos resumir naturalmente la visión infinita del materialismo dialéctico: el objetivo infinito existe, el infinito se puede conocer, pero el proceso infinito no se puede completar.

Concretamente hablando, todo infinito es la unidad dialéctica del infinito malo y el infinito real. Es una existencia objetiva, y el infinito mismo contiene la contradicción entre finitud e infinito, por lo que la existencia objetiva del infinito no significa que el proceso infinito pueda terminar, completarse. El infinito real es la estipulación cualitativa inherente de las cosas infinitas, es decir, la conexión interna, la ley y la verdad, mientras que el infinito malo es un progreso infinito, sin repetición ni alternancia que termina, encarna profundamente la contradicción entre finitud e infinito.

El infinito real puede reconocerse y completarse, mientras que el infinito malo no puede reconocerse ni completarse; el mal infinito (proceso infinito) es la manifestación concreta de la contradicción entre finitud e infinito más que la solución de tal contradicción; esto determina que la contradicción entre la finitud y el infinito nunca se extinguirá. El infinito real representa la calidad infinita (esencia), mientras que el infinito malo representa la cantidad infinita (movimiento y cambio).

El infinito real es inseparable del infinito malo, el infinito malo es el portador del infinito real, y el infinito real es la meta y la dirección del infinito malo. El infinito real es infinito presente, concreto, positivo, racional, completo, es Ser-para-sí y Ser racional, es la cualidad completa; y el infinito malo es posible, abstracto, negativo, infinito incompleto, es Ser-en-sí y Ser intelectual.

Es bien sabido que el problema de la finitud y el infinito es el problema básico de las matemáticas, y es también el problema básico de la Filosofía. La fundamentación matemática ha experimentado tres grandes crisis, desde el nacimiento del número irracional, y la racionalidad del cálculo ha sido seriamente cuestionada (Hegel, Marx ha dado una explicación científica dialéctica desde la filosofía), y luego a la ocurrencia de la Paradoja de Russell. .

La razón de fondo de las tres crisis es que la humanidad no ha sido capaz de dar una explicación científica y clara a la contradicción entre la finitud y el infinito, y siempre ha habido una disputa entre el infinito actual y el infinito potencial. La solución de la segunda crisis es que los matemáticos sin darse cuenta siguen la idea de la dialéctica y dan la definición científica de límite. Sin embargo, desde que Cantor inventó los “números infinitos” (número ordinal, número cardinal) hace más de 100 años, la comprensión de la gente sobre el infinito ha vuelto a caer en la metafísica idealista. Este artículo analiza exhaustivamente la esencia del infinito real y recupera la "verdadera esencia del infinito" de Hegel, es decir, el vínculo interno del infinito: la esencia del infinito real,

Este artículo regresa y redefine la visión infinita del materialismo dialéctico, es decir, la existencia objetiva infinita, la infinidad puede ser reconocida, la infinidad no puede ser completada. En el sistema filosófico del materialismo dialéctico, este artículo da una solución completa al famoso problema de la Hipótesis del Continuo, y también elimina el obstáculo filosófico para resolver la Paradoja de Russell. Visite Philosophy of Mathematics Education Journal, vol. 35 (2019).

http://socialsciences.exeter.ac.uk/education/research/centres/stem/publications/pmej/