¿Cómo interpretar las matemáticas modernas si no se cree en el infinito?

No creer en el infinito te va a causar problemas solo si eres un realista matemático , lo que significa que crees que un número como 5 tiene una existencia ontológica independiente de la que carece el infinito. En el caso de que pienses que tanto el 5 como el infinito son solo conceptos útiles, entonces el problema desaparece.

Hay muchos conceptos que encontramos útiles en la vida y en la ciencia sin asignarles ninguna realidad más grande o más profunda. Por ejemplo, en su libro QED , Richard Feynman, el gran físico teórico, nos pide que representemos la luz como pequeñas flechas giratorias. De ninguna manera es realista acerca de esas flechas. Él no piensa que la luz sea una pequeña flecha giratoria con cualquier aumento, o bajo examen por cualquier tipo de instrumento. Pero le resulta útil conceptualizar la luz como flechas giratorias, porque hace que ciertos conceptos y cálculos teóricos difíciles sean más fáciles de visualizar. Incluso en el caso de que quieras ser realista sobre 5, aún podría mantener que el infinito es una ficción conveniente, útil para cálculos de algunos tipos. En ese caso, sin embargo, se le puede pedir que explique qué hace que uno de esos números sea "más real" que el otro.

Sin embargo, vale la pena señalar (como se señala en los comentarios), que el ultrafinismo real va más allá de simplemente no creer en el infinito. Incluye el compromiso de no tratar en absoluto (incluso como ficciones útiles) con números que no se pueden construir razonablemente. Dado que, si de hecho es un ultrafinista, es posible que deba elegir entre ese compromiso y porciones significativas de las matemáticas modernas.

Me parece que hay una contradicción fundamental entre dos partes de su pregunta.

Primero dices: "Soy ultrafinitista".

Luego pregunta cómo debe interpretar las matemáticas modernas.

Pero el ultrafinitismo es una interpretación de las matemáticas. Entonces, o te suscribes a esa interpretación, en cuyo caso seguramente no tienes necesidad de preguntar cuál es, o no te suscribes, en cuyo caso no eres un ultrafinitista.

Si lee "Matemáticas modernas" como " Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel posiblemente con algunas extensiones y definiciones adicionales", entonces ciertamente un ultrafinitista necesitará dar sentido al Axioma del infinito . Quizá quiera simplemente decir que no existe un conjunto como el que describe el axioma; si es así, entonces su propuesta tendrá consecuencias para, por ejemplo, funciones continuas en el análisis. Esta es una posición que defienden algunos ultrafinitistas como Doron Zeilberger , quien argumenta, por ejemplo, que todo verdadero análisis continuo se reduce al análisis discreto.

Otra posición sería tratar de rehabilitar el axioma del infinito de alguna manera: que el conjunto descrito por el axioma existe pero no es verdaderamente infinito; tal vez, por ejemplo, pensemos que el "conjunto infinito" es una consecuencia de alguna extensión forzada del universo real de la teoría de conjuntos finitos. (Aunque forzar es probablemente insostenible para el ultrafinitista, se han sugerido reinterpretaciones alternativas, por ejemplo, el uso de modelos internos de Yessenin-Volpin )

Una alternativa más sería simplemente renunciar por completo al enfoque de los fundamentos de la teoría de conjuntos en favor de marcos más amigables con los métodos combinatorios. Un ejemplo de esto (aunque no necesariamente debe leerse como un programa finitista) es el programa de teoría de tipos de homotopía . HTT adopta una visión algebraica más abstracta de los fundamentos matemáticos, que idealmente apuntaría a evitar cualquieruna especie de compromiso de teoría de conjuntos habla independientemente de las estructuras y álgebras particulares que podría estar estudiando. Evitar un compromiso explícito con las prácticas infinitistas de la teoría de conjuntos tal vez podría estar más en sintonía con la preocupación fundamental de una visión ultrafinitista de las matemáticas, sin exigirles necesariamente que expliquen cómo mitigar la pérdida de "números transfinitos". como tal.

Es un axioma de las matemáticas modernas que existe el infinito, por lo que las matemáticas modernas contradicen lo que yo creo; sin embargo, creo que sería un gran error de mi parte descartar todas las matemáticas modernas solo por mi estúpido complejo. Después de todo, las matemáticas modernas funcionan.

Si sus premisas llevan, lógicamente, a una contradicción, entonces al menos una de sus premisas es incorrecta. Sugiero que en este caso el ultrafinitismo está mal, no las matemáticas modernas.

No creo que exista tal cosa como el infinito. Para mí, es obvio que tiene que haber un número mayor; Simplemente no sé qué es.

Primero, hay una contradicción aquí.

Llamemos al número más grande "N". Entonces, la mitad de N es N/2, que obviamente es menor que N, por lo que no es el número más grande. Entonces hay un número que es N/2 + 1. Ese número también es menor que N, a menos que N sea dos (y, dado que tenemos cinco dedos en cada mano, y cinco es más grande que 2, parece bastante fácil suponer que N es mayor que 2). Pero ahora tenemos un problema. Para todos los números iguales o menores que N/2, es cierto que todos los números se pueden multiplicar por dos: (1 X 2 = 2, 2 X 2 = 4, 3 x 2 = 6... (N/2 ) X 2 = N). Pero N/2 + 1 no se puede multiplicar por dos, porque eso sería N + 2, que es mayor que N, y en consecuencia no es un número, porque N es, por definición, el número más grande. Y así, algunos números se pueden multiplicar por 2 y otros no. O que pueden, pero luego el resultado no es un número (¿qué son entonces?).

Segundo... No creo en los círculos. Y aunque no puedes demostrar que existe un número mayor, puedo incluso demostrar que los círculos no existen. Si la materia está hecha de átomos, entonces cualquier círculo que tenga x átomos en su radio debe tener una circunferencia de π x átomos, lo cual es imposible ya que π es irracional. Entonces, los círculos no existen.

Sin embargo, sé bastante bien qué es un círculo, y cuándo y por qué usar tal cosa. Es una abstracción; como dice Chris Sunami, es un concepto útil. No puedes tener matemáticas modernas sin ella; pero, lo que es peor, no puedes tener a Euclides, ni siquiera a Pitágoras, sin él.

Y entonces, creo que este es el problema:

Físicamente, es posible que "exista" un número mayor en el universo: el número de las partículas más pequeñas, o de la menor longitud, área o volumen posible, que existen en el universo, o el multiverso. Pero cualquier matemático, o incluso un profano molesto, puede decir "ese número... más uno", "ese número... por dos", "ese número... al cuadrado". Y aunque tales números son más grandes que el número de "cosas" contables en el universo, siguen siendo números, ya que cualquiera de las operaciones aritméticas comunes se puede realizar con ellos.

Las matemáticas no son una "ciencia" en el sentido en que lo son la física, la biología o la sociología. Es un método, y un método que se puede aplicar a cosas que existen, y también a cosas que no existen.

Cuatro unicornios siguen siendo el doble que dos unicornios.

¿Cómo interpretar las matemáticas modernas si no se cree en el infinito?

Respondiendo a tu pregunta en sentido estricto y literal: Si uno no cree en el infinito debería decir adiós a las matemáticas. No cambies las matemáticas, cambiemos de opinión :-)

Pero supongo que estás seriamente interesado en el concepto de infinito en matemáticas, digamos al menos desde los tiempos de Cantor. Por lo tanto, recomiendo estudiar un poco la teoría de los números transfinitos de Cantor, por ejemplo, leyendo

"Joseph W. Dauben: Georg Cantor and the Origins of Transfinite Set Theory. Scientific American, Vol. 248, No. 6 (1983)" (Si no tiene acceso a la revista, puedo enviarle una copia).

Un dicho de Hilbert dice:

"Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros".

Dices que quieres una forma de interpretar las matemáticas. Este es un grito universal: todos queremos interpretar las matemáticas también, seamos ultrafinistas o no. Las matemáticas en sí mismas son lo suficientemente abstractas como para que se deban aplicar para que sean útiles.

Afortunadamente para ti, esto es algo bueno. Es lo suficientemente abstracto como para que puedas interpretarlo como nada más que "un conjunto de símbolos". En el nivel más fundamental, eso califica como una interpretación de las matemáticas.

Supongo que su objetivo es usar realmente esas matemáticas. Para ser preciso en la redacción, buscas transformar una frase matemática (como "1 + 1 = 2") en una forma que te permita actuar sobre el mundo que te rodea (pides dos monedas. Te doy una moneda , entonces te doy una moneda. Estamos empatados). Aquí es donde entra en juego el ultrafinitismo. No deberías tener problemas con la definición de números naturales, N. Las personas son libres de usar cualquier redacción que les plazca, incluso las tontas. Con lo que debería tener problemas es con la aplicación de esas palabras en formas que afecten su vida diaria. Si puedo decirle que puede caminar sobre el agua, usando la cardinalidad de los números naturales como parte de mi prueba matemática, debería tener cierto escepticismo sobre la utilidad de mi afirmación.

Muy, muy pocas de estas aplicaciones se ocupan realmente del infinito directamente. Por lo general, usan el infinito como parte de una prueba. Las pruebas están asociadas con la verdad y la falsedad. Una demostración demuestra que una teoría es verdadera. Si tienes una prueba válida, no importa cuán absurdo sea el resultado, porque se ha demostrado que es cierto.

En consecuencia, puedes mirar las matemáticas modernas. Mucho de esto en realidad no necesita infinitos. Sin embargo, muchas pruebas de enunciados que involucran números finitos se basarán en infinitos, como los que se encuentran en la inducción matemática. Estos son los complicados.

Volviendo a lo que realmente está tratando de hacer, está convirtiendo su "realidad" en una imagen matemática, probando algo al respecto y luego aplicando el resultado a la realidad. Para los que creen en el infinito, la prueba es suficiente. Para usted, es posible que deba usar algo de intuición porque alguien le está diciendo algo que probablemente sea útil, pero que no se puede probar. Si hay poco en juego, puede ser efectivo complacerlos y usar su atajo que involucra números imposibles. Si hay mucho en juego, probablemente debería tratar de encontrar una manera de probar la declaración sin infinitos.

De lo contrario, puede traducir su redacción con una posible inconsistencia. Cada vez que se basan en un infinito, eres libre de argumentar que "es posible (aunque no necesariamente demostrable) que exista un número arbitrariamente grande para el cual este teorema es inconsistente".

Hay un tema relacionado que surge en la corriente principal de las matemáticas, conocido como el Axioma de Elección. El axioma de elección se agrega a la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel (una teoría de conjuntos que involucra infinitos, lo sé) para afirmar que "dado un conjunto de conjuntos, puede construir un nuevo conjunto extrayendo un elemento de cada uno del conjunto original de conjuntos". En tierra finita tiene sentido: "si tengo 10 bolsas llenas de dulces, puedo crear una nueva bolsa de dulces tomando una pieza de dulce de cada bolsa".

En la tierra del infinito, se vuelve inestable. Cuando tienes conjuntos de elementos infinitos, puedes hacer cosas extrañas como comenzar con una esfera, dividirla en 5 secciones, rotar cada una de esas 5 secciones y producir 2 esferas completas de las mismas dimensiones. El truco es que lo divides en conjuntos infinitos de puntos disjuntos. Esto es tan rebelde que muchos eligen no aceptar Zermelo-Frankel con el Axioma de Elección (ZFC), y en su lugar solo usan Zermelo-Frankel (ZF).

Sin embargo, incluso aquellos que se niegan a aceptar ZFC observan las pruebas que se realizan en ese campo. Muchas pruebas que ahora se aceptan usando solo ZF se probaron primero usando ZFC y luego se mejoraron para que fueran independientes del axioma de elección. Por lo tanto, aquellos que desarrollan teorías ZF pueden tratar a ZFC como una fuente de inspiración, sugiriendo dónde deberían buscar una prueba a continuación.

Si usted es un verdadero fisicalista, entonces en la práctica, dados los límites de tiempo y proceso , se utilizará el mayor número posible. Eso no significa que, en principio, sea una especie de límite mágico, pero los números más allá de eso son simplemente irrelevantes. Pero, ¿quiénes somos nosotros, ahora, para decidir qué número será ese? ¿Por qué no ser medio modesto y actuar como si fuera mucho más allá de lo que podemos imaginar? ¿Por qué no planificar un futuro a largo plazo?

Eliges esa dirección, puedes abandonar el infinito, pero tienes que permitir el aumento continuo de todos modos.

Desde el punto de vista del "Análisis no estándar", los elementos de conjuntos como los números reales o los enteros con infinito no son reales, sino definiciones axiomáticas disfrazadas de cosas. (Dos es la propiedad de tener cosas distintas pero la menor cantidad posible , etc.) El infinito contable, como el número con todos los números que ha encontrado como predecesores, pero sin un predecesor inmediato , es la forma abreviada de codificar el aumento continuo. futuro.

Cualquier definición axiomática de este tipo, expresada en un patrón que se puede escribir, es un mecanismo de reconocimiento, que se puede reorganizar para su uso como mecanismo de generación.

Por ejemplo, el modelo intuicionista nativo (a la Brower) de un número real es "una corriente de bits que fluye libremente". Cada número real es un proceso que siempre te dará el siguiente dígito de precisión. El número en sí mismo se trata como un punto en el espacio, pero lo que subyace es realmente una aproximación continua.

Dada la noción de que cualquier regla puede verse como un proceso, todas las demás aplicaciones útiles de infinito pueden volver a codificarse de forma similar.

Por lo tanto, es perfectamente razonable pensar en las partes numéricas de las matemáticas como un buen pensamiento sobre medidas y aproximaciones y sus limitaciones finales, incluso cuando está 'tomando límites cuando x tiende a infinito', o dividiendo dos cosas que 'llegan a cero'.

Cosas como grupos infinitos, etc. abstraen ese mecanismo subyacente, asumiendo que puede ser capturado fielmente en una intuición y arrancado de sus formas más concretas. Si no está dispuesto a dar ese salto, entonces puede ceñirse a geometrías y estructuras finitas, y asumir que las nominalmente infinitas no tienen ninguna aplicación que le interese.

Si das ese salto, habrás pasado de la computación a la psicología. Al hacer suposiciones de que las intuiciones humanas en torno a cosas como el infinito o la continuidad tienen un interés propio, y que la fascinación que sentimos por ellas tiene alguna base, puedes embarcarte en una especie de arte profundamente psicológico, ya sea por interés en la psicología, o atracción por el arte.

Algunos de los productos de ese arte resultan tener representaciones en la realidad, que hacen que ciertos tipos de otras cosas sean más fáciles de imaginar. Al igual que otros tipos de historias, nos ayudan a atravesar la vida. Pero estas historias son siempre 'Roman a Clef', sabemos de dónde vienen los personajes. Por lo tanto, las representaciones se pueden desenrollar en términos finitos y modelar en computación cuando tienen aplicaciones genuinas.

La pregunta es por qué podemos pasar de la computación al arte y volver a la computación más fácilmente si nos permitimos un cierto nivel de exceso en el arte que si nos atenemos a la realidad. Básicamente, ¿por qué la intuición matemática humana es una herramienta más fuerte que su motivación, si todo lo que modela más allá de sus aplicaciones concretas realmente no está ahí?

Es la misma pregunta que hace que el lenguaje sea fascinante. Si el universo es básicamente físico y la evolución es lo que impulsa la mayor parte de esto, entonces, ¿por qué demonios evolucionaríamos algo mucho más poderoso que la evolución misma (resolviendo los mismos tipos de problemas cientos de veces más rápido) y luego usarlo para crear otro? tipo de evolución en conjunto (ideologías y culturas en competencia)?

(La realidad es suficiente. Nadie necesita mentiras. Pero como señala Nietzsche, aún no hemos comenzado a estimar su poder).

La física, en cierto sentido, es ultrafinitista en el sentido de que los infinitos reales suelen considerarse indicadores de un fracaso (o aporía ) en una teoría; y esta noción es en realidad de procedencia antigua: Aristóteles, por ejemplo, en su Física argumentó que solo el infinito potencial se obtiene en el mundo.

Así que aquí estás en buena compañía.

Hay dos formas en que las matemáticas usan el infinito: lo infinitamente pequeño en el cálculo y lo infinitamente grande en la teoría de conjuntos; y la actitud normal es platónica, formal o pragmática.

Pragmatic ya ha sido cubierto por la respuesta de Sunami; el formalismo, en cierto sentido, surge del pragmatismo, dado que solo nos importa si funciona y no si los conceptos que contiene tienen un peso ontológico, entonces, en el fondo, solo debemos preocuparnos por la coherencia lógica.

El platonismo, es lo que podría llamarse realismo matemático donde uno se preocupa por la ontología de los números; y parece que lo haces, entonces uno necesita pensar en este espacio; y sugeriría que hay dos posibilidades relacionadas aquí: el constructivismo que permite un número solo si es construible, es decir, no puedo simplemente afirmar su existencia; y el intuicionismo que deja caer la LEM (Ley del Tercero Excluido).

Creo que es eminentemente posible lidiar con las matemáticas modernas creyendo que el infinito no existe. Técnicamente, si la creencia tuviera que aplicarse en las consideraciones matemáticas de uno, entonces conduciría rápidamente a autocontradicciones y resultados sin sentido. Pero así como una persona religiosa que cree que todo sucede de acuerdo con la voluntad de algún dios o dioses, puede seguir tomando decisiones, preocupándose por los demás, etc., así una persona que no cree en la existencia del infinito, o de la multiplicación, lo que sea, puede seguir haciendo matemáticas como si esas cosas existieran, simplemente sin creer que realmente existen.

Es una cuestión de un poco de doble pensamiento, una suspensión dependiente del contexto de la creencia/incredulidad en al menos una parte de la mente. Somos buenos para el doble pensamiento. Incluso una persona que no alberga grandes creencias irracionales como las mencionadas anteriormente, tiene que pensar dos veces en ocasiones, porque es físicamente imposible tener siempre creencias consistentes sobre todo. Y a veces uno descubre, a través de las consecuencias de las propias creencias, que alberga dos o más creencias mutuamente contradictorias: ¡piense dos veces al rescate!

Visto de otra manera, es físicamente imposible estar seguro de que todas las creencias de uno son consistentes porque requeriría una alta capacidad de procesamiento arbitraria para deducir las consecuencias relevantes donde uno puede ver directamente que chocan. Entonces, es un doble pensamiento, si uno no es detenido por tales acontecimientos, que podrían ser seriamente perjudiciales para la existencia continua de uno. Y habiendo evolucionado para dar cabida a creencias contradictorias, (aparentemente) lo hacemos con bastante facilidad.

Bueno, no creo que los matemáticos modernos crean que existe el infinito. Usamos el término infinito e introducimos objetos como infinito para formar los números reales extendidos y cuando discutimos las transformaciones de Mobius, pero uno no debe leer demasiado sobre esto. En primer lugar, en el segundo caso, los números complejos no tienen una estructura de orden, y en el primero, si uno acepta que los números reales no tienen límites, ¿por qué molestarse con la introducción de un número finito de objetos?

Entiendo que su punto actual es que, de hecho, los números reales no son ilimitados (o, más precisamente, los números naturales están acotados arriba) y, por lo tanto, son necesariamente finitos (porque es imposible llegar a los reales sin pasar por los números naturales o hablando). sobre el infinito - de hecho, si no tuviéramos infinito no podríamos hablar de los números reales).

Mi punto anterior es que cuando uno está discutiendo el infinito en un sentido matemático formal, es porque está discutiendo una declaración sobre un conjunto 'infinito'. Uno de los esquemas del axioma, curiosamente, el axioma del infinito, es el siguiente:

Existe un conjunto N tal que el conjunto vacío E está en N, y si x es un elemento de N entonces el conjunto cuyos elementos son x y {x} también es un elemento de N.

Esta es una definición puramente formal y de ninguna manera se basa o menciona el infinito; uno puede pensar que N es infinito, pero desde un punto de vista formal, no es más que estos símbolos.

Por lo tanto, se puede decir que el significado del infinito deriva de su uso en un lenguaje teórico de conjuntos adecuado en lugar del significado de ser de alguna manera "infinito" aunque propio.

Recomiendo considerar el modelo de medición plana "Tierra plana" aunque sabemos que la Tierra es una esfera. No medimos la distancia en arco, sino en unidades lineales. Esto funciona bien para viajes por carretera, desarrollos de edificios y probablemente la mayoría de los levantamientos topográficos (aunque sospecho que los viajes aéreos miden la distancia en un arco). La razón por la que podemos medir linealmente a pesar de que la fórmula para hacerlo en realidad es inexacta, es que está lo suficientemente cerca de la medición real para que siga siendo útil.

Entonces, para responder a su pregunta, podría interpretar las matemáticas modernas como aproximadamente precisas de la realidad que está convencido de que existe (esto no es una crítica a su decisión de negar el infinito). Las matemáticas modernas pueden verse como "lo suficientemente cercanas" y, por lo tanto, no hay problema en usarlas tal como están. Simplemente serás consciente de sus limitaciones y sabrás que es posible que no esté representando la realidad (de nuevo, la realidad que aceptas) con un 100 % de precisión.

También estoy de acuerdo con el comentario inicial de @Keelan y @Cheers y hth. - La exposición de Alf sobre el "doble pensamiento".