¿Es demostrable que epistémicamente posible (posible por lo que sé) no implica posible?

Su ejemplo está relacionado con la llamada "paradoja de la cognoscibilidad" relativa a oraciones de la forma "p pero p no se conoce", señalada por Church en 1945. Las oraciones de Church no son contradictorias, pero el argumento simple muestra que no pueden ser conocido por cualquier p. En efecto, si se conoce la sentencia de la Iglesia, entonces se conoce p, pero también se sabe que p es desconocida, lo cual es incoherente. En otras palabras, si hay verdades desconocidas (que nunca llegan a ser conocidas, si pensamos temporalmente), entonces hay verdades incognoscibles. Church puede haberse inspirado en la paradoja de Moore , propuesta en 1942, con frases como la de Moore " Fui a las fotos el martes pasado, pero no creo que lo hiciera".". Sin embargo, el punto de Moore era diferente, que tales oraciones crean una contradicción cada vez que se pronuncian, porque la expresión (honesta) requiere creencia.

Si uno adopta una epistemología bajo la cual no hay verdades incognoscibles (como el intuicionismo), entonces uno debe aceptar que nada que no se sepa puede ser verdad (o uno puede adoptar alguna lógica epistémica no tradicional). Para decirlo de manera positiva, "si p es verdadera, entonces p es conocida", la inferencia que está utilizando es que con p="X es imposible". Esto es impopular, pero no tan loco como parece. La creencia en verdades incognoscibles o trascendentes a la verificación es un sello distintivo del realismo. antirrealistas(acerca de un dominio particular) imponen estrictos requisitos teóricos de prueba sobre el conocimiento, de modo que nada que no se suministre con una prueba se considere verdadero, y todo lo que se suministre con una prueba, por supuesto, se sabrá que es verdadero. En este modelo de verdad, si X es imposible, entonces ya lo sabes, y si no lo sabes, entonces no se le atribuye ningún valor de verdad a la afirmación. Es por esto que los intuicionistas y antirrealistas rechazan la ley del tercero excluido, no podemos saber que p o no p sin saber cuál, de lo contrario admitimos verdades incognoscibles. Si uno adopta tal noción de verdad, entonces epistémicamente posible implica posible (y por lo tanto lo opuesto es falso, y por lo tanto indemostrable), pero parece que no tiene mucho sentido distinguir entre epistémicamente posible y simplemente posible.

Wittgenstein mantuvo algo así como una posición con respecto a las matemáticas en su período intermedio, según él, " una proposición matemática es una alusión a una prueba ". Según la lectura de Shanker, para Wittgenstein las conjeturas no probadas no tienen valores de verdad porque no tienen significado. Aquí hay un comentario de la tesis de Matthíasson :

Wittgenstein abandonó la opinión de que el lenguaje tenía una lógica o cálculo subyacente. Ahora creía, dice Shanker, que consistía en “una red compleja de cálculos entrelazados: 'sistemas proposicionales' autónomos, cada uno de los cuales constituye un espacio 'lógico' distinto”.

[...] La relación de una prueba con su proposición es interna y crea el significado de la proposición matemática, es decir, el papel de la prueba no es simplemente convencer a su lector de la verdad de la proposición probada (que sería una relación externa en esta imagen), sino que es necesario para establecer el significado mismo de la proposición que se está probando: una prueba es, por lo tanto, una parte esencial de la proposición que prueba.

[...] Esto, por supuesto, plantea inmediatamente el siguiente problema: si el significado de una proposición matemática depende de su prueba, una conjetura matemática cambia su significado cuando se ha probado. Entonces se sigue que una conjetura matemática nunca puede ser probada (puesto que la proposición probada no es la misma que la conjeturada). Para Shanker, las conjeturas no tienen sentido estrictamente hablando, pero proporcionan un "estímulo" para que el matemático presente una demostración y, por lo tanto, un nuevo cálculo. "