¿Una "paradoja" del coherenteismo?

Esta es una continuación de una pregunta que tenía sobre el fundacionalismo , que parece paradójico en la medida en que es una tesis que se ha defendido (tal vez es solo la argumentación histórica la que es paradójica, no la tesis en sí). Aquí, parece que el coherenteismo implica rechazar la existencia de premisas fundacionales no inferidas; más bien, cualquier premisa puede verse como inferida (¡no necesariamente deductivamente!) de otra cosa, después de todo.

Sin embargo, me parece que el coherenteismo no puede evitar incorporar en sí mismo algunas afirmaciones no inferidas. Por ejemplo, necesitamos una oración de definición para hablar de "coherencia" en primer lugar. Además de eso, necesitamos una oración que establezca que entrar en las relaciones de coherencia correctamente definidas proporciona justificación para las creencias en primer lugar. Y luego necesitamos un método para exhibir estas relaciones.

Otra forma de ilustrar el problema es en términos de la explicación teórica de grafos de los tipos de solución de regresión . Presumiblemente, tenemos creencias sobre los gráficos, cómo se definen y cómo funcionan. ¿No sería definir un tipo de solución de regresión, teóricamente de grafos, pre-encontrado (por así decirlo) todos los tipos, en teoría de grafos? x De modo que el fundacionalismo terminaría siendo ineludible, en cierto sentido. (Esto parece estar en la línea del punto de vista de Alessio Moretti, con respecto al lado filosófico de su geometrización de la lógica.) (Yo diría que este razonamiento también se aplica al infinitismo: necesitaremos una definición fundamental de infinitismo, una proposición de justificadores infinitos, métodos de regresión infinita...)

¿Se derrumba el coherenteismo en una forma de fundacionalismo donde las premisas fundamentales se refieren a las relaciones de coherencia?

x Y entonces, tal base de tipos de conocimiento, en general, ¿convertiría la teoría de grafos en la base del conocimiento matemático también, después de todo? No estoy en contra de esta tesis, considerando todas las cosas, pero tampoco estoy a favor de ella en la forma en que lo estaba hace unos años.

Sería mi impulso decir que un sistema formal coherente se basa en un metalenguaje y, por lo tanto, la coherencia del lenguaje objeto se deriva de los fundamentos axiomáticos del metalenguaje. ¿Apela esto a sus intuiciones?
De todas las muchas y variadas distinciones que los filósofos han encontrado sospechosas, encuentro que la distinción entre un lenguaje objeto y un metalenguaje es una de las más sospechosas. Habiendo dicho eso, dicho en esos términos, ¿el problema parece ser que el coherenteismo del lenguaje objeto colapsa en el fundacionalismo del metalenguaje, "eventualmente"?
Responderé a continuación, pero ¿hablar sobre estas sospechas?
Tal vez estoy leyendo mal el material (en este momento estoy viendo las "Definiciones de la verdad de Tarski" en el SEP), pero parece que el propósito de introducir estos niveles de idioma es tener predicados/valores de verdad en diferentes niveles, para evitar generar la paradoja del mentiroso. Sin embargo, tengo una creencia totalmente diferente sobre cómo evitar dicha generación, una que no requiere diferentes niveles de verdad. Además de eso, el contenido interno de esta creencia parece descartar la formación de oraciones de Gödel (al menos en lenguaje natural), lo que lleva a teoremas de incompletitud comprometidos (al menos).
Es decir, en la teoría con la que estoy trabajando, el análogo de la oración de Gödel sería algo así como "Esta oración no es justificable" o "S: j(S) = 0". ¿Qué pasa entonces con j(S: j(S) = 0)? Pero si "esta oración" es injustificable, no "va a ninguna parte", no tiene las consecuencias tradicionales de incompletitud, me parece.
También tengo que decir que sospecho de la diferencia semántica-sintaxis, o al menos de sacar "demasiado" de ella. Al estar familiarizado con la llamada literatura signicónica, por ejemplo, no me queda claro que los glifos sintácticos no sean, como tales, a la vez semánticos, o mejor dicho, no me queda claro que no haya mucho más en el cuestión de lo que indica la simple distinción.
Mi respuesta es tan simple como puedo hacerlo, ¡lo siento! En cuanto al uso de la teoría de grafos como base, estás cerca. La teoría de categorías, que a menudo se visualiza con la teoría de grafos, es una base perfectamente legítima y una alternativa a la teoría de conjuntos (consulte el cuarto párrafo de WP para asegurarse).
No. Las relaciones de coherencia son requisitos puramente formales sobre las descripciones verbales admisibles. Van un poco más allá de especificar la sintaxis pura de las descripciones al agregar algunos requisitos globales (como la consistencia) y no tocan la sustancia de lo que se describe. El fundacionalismo, tal como se entiende normalmente, aboga por la existencia de premisas materiales fundamentales además de la coherencia formal, ya sean datos sensoriales o algunos postulados a priori , sobre la sustancia en sí, no nuestras descripciones de ella.
¿Qué es impedir que un sistema defina su propio criterio de coherencia, sin referencia a ningún concepto externo o fundacional del mismo? Los sistemas epistemológicos rivales pueden diferir no solo en lo que consideran verdadero, sino incluso en lo que cuenta como criterio para determinar la verdad, e incluso en lo que cuenta como criterio de consistencia.
@Conifold, consideré esa diferencia (material vs. premisas formales como tal) y supongo que mi única réplica sería: pero esto hace que la diferencia entre las premisas materiales y formales en sí sea una especie de base. ¿O la diferencia entre forma y materia es sólo formal, sólo material, o ambas (o ninguna)? Aunque no se puede deducir mucho de la diferencia, supongo que no sería la base más "satisfactoria".
Eso es exactamente correcto. Al menos en lo que respecta a los sistemas matemáticos, esto es lo que dice JR Lucas. "[L]o que muestra el teorema de Gödel es sólo que el concepto de prueba no puede ser completamente formalizado... reconocemos que la verdad supera a la demostrabilidad... el hecho de que la verdad matemática supera a la demostrabilidad dentro de un sistema formal argumenta a favor de la creatividad de las matemáticas". inferencia... dada una inferencia, sólo podemos detectar el principio no formulado hasta ahora que ejemplifica". IOW, la sintaxis matemática debe necesariamente basarse en la sintaxis del lenguaje sencillo, que en sí misma está vacía si no fuera por la intuición.
El hecho de que las teorías matemáticas estén (fuera de Flatland de la academia matemática) basadas en otras teorías epistemológicas solo muestra cómo continúa el retroceso, posiblemente hacia un estado psicológico.
El teorema de @Bumble Goedel muestra que la consistencia de un sistema, la coherencia de la colección de verdades demostrables dentro del sistema, nunca puede ser probada por el sistema mismo, sujeto, por supuesto, a las mismas restricciones impuestas al teorema de Goedel.
Se supone que "Fundamento" fundamenta todo el conocimiento disponible. Las convenciones, o incluso algunos postulados materiales aislados con escasas consecuencias, no son fundamento alguno.
@Conifold, supongo que al final del día, no creo que el cohesionismo sea realmente solo un ejemplo peculiar de fundacionalismo, después de todo. Sin embargo, por alguna razón, Hamkins me dijo que hay una especie de bisimulación entre las teorías de conjuntos bien fundadas y las mal fundadas, así que no sé. Al menos, sospecho que el fundacionalismo y el coherenteismo pueden integrarse como en la teoría de Haack, o tomarse como algo así como magisterios que no se superponen, por así decirlo. Todavía no he establecido mis opiniones sobre estas preguntas...
Bueno, ZFC y AST de Aczel son biinterpretables, al igual que FOL clásico e intuicionista. ¿Nos dice algo más que FOL es incapaz de codificar la semántica? Las máquinas de Turing y las redes neuronales pueden simularse entre sí y, de manera más informal, los materialistas e idealistas también pueden "simular" las concepciones de los demás en sus ontologías. Marcos suficientemente ricos, matemáticos o filosóficos, pueden "simular" cualquier cosa bajo el Sol, eso no nos dice nada sobre lo que los distingue entre sí.
Según la SEP, existen dos teorías del cohesionismo: un cohesionismo sobre la justificación y un cohesionismo sobre la verdad. El ejemplo paradigmático de ambos es la noción de verdad formal de Hilbert. Aquí, se dice que un sistema formal es verdadero cuando sus axiomas son consistentes y, por lo tanto, y esto es un salto filoosófico, coherentemente justificable, junto con otro salto filosófico, coherentemente verdadero. >Necesitamos una oración de definición para "coherencia"... No necesitamos ni podemos requerir definiciones para todo. En el fondo quedan ciertas cosas sin definir pero eso no quiere decir que no se entiendan. Estos son los

Respuestas (1)

Advertencia

No soy un lógico, así que esto representará mi mejor esfuerzo. Se alienta la crítica de las afirmaciones.

Respuesta corta

¿Se derrumba el coherenteismo en una forma de fundacionalismo donde las premisas fundamentales se refieren a las relaciones de coherencia?

Sí. Un modelo en lógica matemática es el uso de un sistema formal para fundamentar las verdades de un segundo sistema formal al traducir la verdad del segundo al primero de una manera similar a las distinciones de uso y mención en el lenguaje natural. El sistema interior es el lenguaje objeto del exterior, el metalenguaje, donde el lenguaje se toma en un sentido formal como una construcción sintáctica de una gramática formal para asegurar la buena formación. La relación entre el lenguaje objeto y el metalenguaje es que la gramática del metalenguaje tiene que ser más expresiva que la gramática objeto. Esta es la naturaleza de la fundamentación de la verdad. El sistema formal de objeto se usa para probar verdades deductivamente, mientras que el sistema metaformal se usa para probar la consistencia.de las deducciones del sistema objeto de forma deductiva. Vuelva a leer eso porque eso es confuso solo para escribir.

Entonces, en el ejemplo principal, en la teoría de conjuntos ingenua, las entidades, relaciones y operaciones básicas pueden usarse para probar teoremas. Pero lo que no pueden hacer es probar teoremas consistentemente ya que el sistema produce contradicciones. Pero el enfoque alternativo es proporcionar axiomas que no excluyan conjuntos que se contengan a sí mismos, siendo ZFC la forma estándar históricamente inspirada. Esto funciona porque la teoría de conjuntos es un idioma y la lógica de los axiomas está en un segundo idioma; Se dice que la teoría de conjuntos y la aritmética están basadas en la lógica. Por lo tanto, la teoría de conjuntos produce verdades consistentes de teoría de conjuntos (coherencia filosófica) cuando se traduce en las verdades fundamentales de FOPC (fundacionalismo filosófico).

Respuesta larga

Sistemas formales y lenguajes

Generalmente, los lógicos toman los sistemas formales como poco más que una colección de oraciones que a través de la lógica generan una sola oración, un proyecto iniciado por Frege. Pero, la noción de un sistema formal es en sí misma computable, y podría arrojar algo de luz, ya que hablaste de signos. Los signos en el sentido intuitivo se representan mejor mediante cadenas de caracteres con fines computacionales, lo que fundamenta la noción de un signo en la de una cadena en informática. Podemos considerar esto como un posible formalismo para representar un sistema formal. (Es posible formalizar las nociones de alfabetos, lenguajes formales y autómatas con mucha más sofisticación que lo que sigue, que es un resumen).

Comencemos con la noción formal de un sistema formal. Se puede pensar en un sistema formal como una colección de cadenas determinadas por la gramática (oraciones) construidas sintácticamente a partir de un lenguaje formal que concatena una cadena de caracteres de un alfabeto. En informática, una forma popular de expresar gramáticas libres de contexto (tiene que examinar la jerarquía de Chomski para tener una mejor idea de lo que eso significa) es la forma de Backus-Naur . Backus-Naur da un ejemplo básico de cómo se puede determinar computacionalmente la buena formación. Una vez que un lenguaje formal tiene conectores lógicos incorporados en su gramática, es capaz de usar algo como modus ponensiterativamente para llegar a la conclusión iterativamente reduciendo cadenas, o más bien oraciones, a una oración final. Así vamos de antecedentes a consecuentes.

Actualmente, los objetivos de la lógica matemática para asegurar el rigor de un sistema formal se basan en un metalenguaje cuya expresividad es mayor que el lenguaje objeto, y por tanto la coherencia del lenguaje objeto se establece por los fundamentos axiomáticos del metalenguaje. El lenguaje objeto se caracteriza generalmente como sintáctico y utiliza el torniquete sintáctico 1, abstraído y se ocupa de la demostrabilidad en lugar de la satisfacción, mientras que el metalenguaje es semántico y utiliza el torniquete semántico, es más específico y se ocupa de la consistencia y la decidibilidad del lenguaje objeto. Un lenguaje objeto, por lo tanto, es una herramienta deductiva para examinar una afirmación que se extiende desde una base axiomática que se construye principalmente para demostrar la satisfacibilidad de las oraciones, que filosóficamente hablando es una instancia de verdad derivada de las proposiciones del sistema, mientras que el metalenguaje busca asegurar afirmaciones sobre las afirmaciones del lenguaje sujeto, es decir, consistentes (coherencia matemática), pero basadas en un sistema que habla de la naturaleza de la verdad original con miras no solo a la validez de la deducción a nivel de objeto (probabilidad), sino la validez de todo el sistema sobre un rango de variables en el dominio del discurso, mostrando que el sistema no es inconsistente en probar verdades (consistencia). El puente entre los dos lenguajes es de la teoría tarskiana de la verdad que usa la oración T para mostrar que hay una traducción en verdad del lenguaje sujeto al lenguaje objeto, que es de donde deriva la noción de verdad deflacionaria.

Ahora, entre dos lenguajes, hay necesariamente dos gramáticas distintas, y lo importante a recordar es que la gramática del metalenguaje tiene que ser más expresiva que el lenguaje objeto. En el lenguaje de los lenguajes formales, esto simplemente significa que las cadenas bien formadas del lenguaje objeto deben ser un subconjunto de las cadenas bien formadas del metalenguaje. Recuerde, en una oración T, el uso de delimitadores de cadena (a veces llamados secuencias de escape, citadores, etc., como apóstrofes, comillas, etc.), permite que la oración T (método tarskiano) fundamente por biyección la verdad de un idioma. a otro) es una instancia de distinción uso-mención y se usa para contener oraciones de la cadena de sujeto en la oración del metalenguaje. El ejemplo de Tarski de Logic, Semantics, Meta-Metamathematics, p. 156:

(3) 'está nevando' es una oración verdadera si y solo si está nevando.

Puede ver que 'está nevando' es una proposición y se evalúa su veracidad utilizando el conector lógico bicondicional que no necesita ser parte de la conversación, es decir, el lenguaje utilizado cuando se habla del estado del tiempo. El desafío de analizar esta oración se facilita con la cita, pero obviamente no es parte del lenguaje hablado. (En lingüística, el fenómeno se denomina incrustación central y, sin delimitadores, puede generar confusión).

Ahora, podemos ver que la ventaja de usar la teoría de modelos es obvia. Permite que las paradojas de un conjunto de axiomas se resuelvan mediante la adición de axiomas adicionales en lugar de modificar los axiomas originales del sistema formal y, al mismo tiempo, permite hablar del rango de resultados del sistema formal mientras se acomoda explorando completamente el nociones de recursividad, decidibilidad, computabilidad, etc. El origen de esta mayor complejidad fue una respuesta a la paradoja del mentiroso formalizada por Russell, y el intento de fundamentar la teoría de conjuntos en la lógica de sus axiomas, lo que resultó en ZF, y más tarde, por extensión, ZFC. A partir de ahí, florecieron otras teorías de conjuntos como NBG.

Por lo tanto, no importa si toma un ejemplo de la teoría de conjuntos o de la teoría de grafos, o incluso de la geometría. Cuando tiene un idioma, por ejemplo, FOPC, y comienza a examinar si las conclusiones a las que se llegó en el idioma son consistentes o no, necesita introducir nuevas ideas para probar la consistencia que necesariamente está fuera del FOPC. Y en el momento en que empiezas a formalizar este proceso, terminas recurriendo a ideas como metamatemáticas, metalógicas y metalenguajes debido a la naturaleza recursiva involucrada en el uso de las proposiciones del primer idioma dentro de un segundo idioma más expresivo que se usa para evaluarlo. Entonces, felicitaciones por reconocer que existe un cohesionismo epistemológico que "colapsa" en una forma de fundacionalismo donde las premisas fundamentales son las relaciones de coherencia. Eso'

1 El torniquete simple-doble es la norma actual en la lógica matemática, pero las mismas ideas pueden transmitirse en lenguaje natural, flechas simple-doble, o según WP, convención de torniquete simple-simple.

Ojalá pudiera confirmar esta respuesta dos veces. Como exposición del concepto/rol de los metalenguajes, es también una sólida defensa del mismo concepto.
Espero que mientras reflexiono sobre esto, tendré una mejor comprensión de la respuesta de Hamkins a mi publicación de MathOverflow sobre "el universo justificable". Dijo algo sobre hechos de bisimulación que socavan el punto aparente de V = J , pero no pude responder a esa contrapropuesta...
Con respecto a lo anterior, "El lenguaje objeto generalmente se caracteriza como sintáctico y usa el torniquete sintáctico ... mientras que el metalenguaje es semántico y usa el torniquete semántico ...", generalmente el torniquete sintáctico también está en el nivel meta, no en el nivel del lenguaje objeto. Ver referencia : En metalógica, el estudio de los lenguajes formales; el torniquete representa consecuencia sintáctica (o "derivabilidad").
@DoubleKnot Leí la entrada y el texto. El artículo metalógico afirmaba que la lógica matemática y la teoría de modelos han subsumido en gran medida la metalógica, lo que sugeriría que la te única ya no se usa. Revisé a Tarski, y él usa una taza, y tengo otros tres trabajos, el texto de Chang sobre la teoría del modelo (doble torniquete), Boolos et al sobre computabilidad (inglés, doble torniquete). Y el texto de Ono sobre la Teoría de la Prueba y el Cálculo Secuente (doble flecha, doble torniquete) pero hubo algún uso de un subíndice para mostrar demostrabilidad dentro de un sistema. Pude ver un sistema de notación que usa un script...
por supuesto, no hay ninguna razón por la que no pueda simplemente determinar a partir del contexto, pero eso sería una gran carga cognitiva. De todos modos, gracias por compartir, pero no sé que una digresión en variaciones de notaciones para expresar sintáctica y semántica tenga mucho valor. Sin embargo, pondré una nota a pie de página. ¡Gracias!
¡Hecho! (Uh, oh. Ahora sé cómo hacer notas al pie).
¿Una "paradoja" del coherenteismo?
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