¿Es correcta mi interpretación de la definición de variable libre?

Estoy escribiendo algunas notas sobre lógica para mí y me encontré con la sección sobre cuantificación, es decir, que los cuantificadores vinculan variables. Pensé en una forma que me ayuda a comprender por qué los cuantificadores vinculan variables, pero no estoy del todo seguro de si es correcto. ¿Estoy en lo correcto al decir que las variables libres permiten que una declaración sea un sustituto de varias? He escrito mis notas a continuación.

~~~

"Cuando hacemos un enunciado de la forma ∀ X PAG ( X ) , ∃ X PAG ( X ) , o ∃ ! X PAG ( X ) entonces en realidad no estamos haciendo un enunciado que pueda tener diferentes valores de verdad para diferentes valores de X . si uno dice

∀ X ( X ∈ Z )

cuando el universo del discurso es algo más grande que Z , entonces podemos decir con certeza que esta afirmación es falsa, porque debe existir algún valor de X que no es un número entero. Decimos que los cuantificadores b i norte d variables Si tenemos:

∀ X ∃ y ( X = y + z )

entonces podemos decir que ambos X y y están atados, y z es libre, ya que no se ha adjuntado ningún cuantificador z . En principio, la validez de la declaración podría depender de z , aunque en realidad si X , y y z fueran números reales esta afirmación siempre sería cierta.

Otra forma de pensar en esto es que si una declaración contiene variables libres, en realidad son varias declaraciones a la vez, por lo que del ejemplo anterior podemos extraer varias declaraciones:

∀ X ∃ y ( X = y + 1 )

∀ X ∃ y ( X = y + 2 )

⋮

∀ X ∃ y ( X = y + 2 50 )

⋮

así que aunque en todos los casos la afirmación sea verdadera, en principio los valores de verdad podrían diferir. Si quisiéramos eliminar todas las variables libres de nuestra fórmula, podríamos decir:

∀ X ∀ z ∃ y ( X = y + z )

una vez más teniendo cuidado con la posición de nuestros cuantificadores para que no digamos que hay un solo valor de y que funcionaría para cada valor de z ."

~~~

Si hay algo más en mis notas que inmediatamente le parezca incorrecto, le agradecería que también lo señalara. :)

Lo único que me parece algo dudoso es "si una declaración contiene variables libres, de hecho, son varias declaraciones a la vez" .
Mm, eso es lo que tengo dudas, me pregunto si no es correcto decir eso
Considere la declaración π < 4 . llamarías π una variable no ligada? ¿Diría usted que son varias afirmaciones a la vez?
No, esa es una afirmación.
@DanielV: en el contexto de la lógica de primer orden, π es una constante, no una variable.
Sí, no estaba muy seguro de adónde ibas con eso...
@CarlMummert De acuerdo, pero en el contexto de FOL, de todos modos no existe una variable libre.
@DanielV: en la fórmula " X = X ", X es ciertamente una variable libre. No estoy seguro de lo que quieres decir con que no existe tal cosa.
Lo que hoy llamamos fórmula "abierta", es decir, una fórmula como ( X = 0 ) con una ocurrencia libre de la variable X Russell la llamó función proposicional . Si estamos de acuerdo en que una proposición (u oración) es algo que tiene un valor de verdad definido, una función prop. φ ( X ) es una expresión sin un valor de verdad definido que cuando se "completa" con una referencia para la variable X , es decir, con la sustitución de una constante (un "nombre") en lugar de X , adquiere un valor de verdad definido.1/2
En mi ejemplo trivial, con ( X = 0 ) como φ ( X ) , si sustituimos X con 0 obtenemos la sentencia ( 0 = 0 ) , lo cual es cierto , mientras que con la sustitución de 1 en lugar de X obtenemos : ( 1 = 0 ) , lo cual es falso . 2/2
Mmm, ¿está bien verlo? Φ ( X ) como varias declaraciones diferentes, quizás con diferentes valores de verdad?
@MauroALLEGRANZA
@Nethesis: personalmente no estoy de acuerdo con la vista de "varias declaraciones diferentes en una" ... Prefiero verlo como una función matemática F ( X ) definido por la "expresión": X 2 + 5 . Es una "receta" para calcular un valor de salida para cualquier valor de entrada (admisible): para entrada X := 5 tenemos salida 30 etcétera. Así, una fórmula abierta es una receta para calcular valores de verdad; la fórmula abierta " X es un filósofo" es verdadero para la entrada X := Platón y falso para entrada X := Drácula.
@MauroALLEGRANZA Bien, ¿qué tal "Si una declaración contiene variables libres, entonces uno puede extraer varias declaraciones diferentes que tienen un valor de verdad definido de esa declaración, por lo que para el ejemplo anterior podríamos extraer: ..."

Respuestas (2)

Sobre el tema de sustituir una declaración por varias, una notación más antigua para los cuantificadores era:

⋁ X ( X = 3 )  para  ( ∃ X ) [ X = 3 ]
⋀ X ( X = 3 )  para  ( ∀ X ) [ X = 3 ]

la idea es que ∨ significa "o", ∧ significa "y", y se consideraba que los cuantificadores representaban (posiblemente infinitas) conjunciones y disyunciones, con una conjunción o disyunción para cada elemento del modelo.

¡Eso es genial! No sabía esto.
Sí, entonces si todas las variables están limitadas por cuantificadores, entonces solo hay una declaración, aunque larga. Pero si hay variables libres, entonces esa declaración es varias a la vez.
No, @Nethesis. ( X 2 = 4 ) es una declaración. Hay dos valores reales para los que es verdadero, e infinitos para los que es falso. Sin embargo, es solo una afirmación.
@GrahamKemp De acuerdo, esta redacción es menos controvertida: si una declaración contiene variables libres, entonces uno puede extraer varias declaraciones diferentes que tienen un valor de verdad definido de esa declaración, por lo que para el ejemplo anterior podríamos extraer: ..."?
@Nethesis Diría simplemente que el valor de verdad de la declaración es una función de los valores particulares de la(s) variable(s) independiente(s), que está(n) definida(s) externa(s) a la declaración.
Recuerdo usar esos símbolos en la escuela secundaria, pero cuando llegué a la universidad tengo que usar ∃ y ∀ . Me pregunto cuál fue la razón detrás de cambiar esos símbolos.

OP escribió:

Si tenemos:

∀ X ∃ y ( X = y + z )

entonces podemos decir que ambos X y y están atados, y z es libre, ya que no se ha adjuntado ningún cuantificador z . En principio, la validez de la declaración podría depender de z , aunque en realidad si X , y y z fueran números reales esta afirmación siempre sería cierta.

Otra forma de pensar en esto es que si una declaración contiene variables libres, en realidad son varias declaraciones a la vez, por lo que del ejemplo anterior podemos extraer varias declaraciones:

∀ X ∃ y ( X = y + 1 )

∀ X ∃ y ( X = y + 2 )

⋮

Depende del contexto. En el contexto de una prueba formal, puede sustituir 1 para z solo si ha probado o si ha asumido explícitamente que z = 1 .

En contextos más informales, la conmutatividad de la suma, por ejemplo, a menudo se da en los libros de texto como simplemente

X + y = y + X

donde, se supone que cualquier valor puede ser sustituido por X y y .

¿Es correcta mi interpretación de la definición de variable libre?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v