Dé fórmulas cuyas interpretaciones en el modelo representen los predicados

Lo siento por esta pregunta realmente estúpida.

Considere la estructura A =< norte , < ; ⋅ , 1 > (tipo de aridad < 2 ; 2 , 0 > ). Dé fórmulas cuyas interpretaciones en el modelo representen los predicados

(a) " X 2 es un divisor de X 1 ";

(b) " X 1 es primo";

(c) "por cada norte , hay algún primo mayor que norte ".

Soluciones:

Entonces, comencemos con (a) y luego avancemos hacia (c): (a) En primer lugar, tengo algunos signos de interrogación: si estoy en lo correcto, me gustaría expresar X 1 = X 3 ⋅ X 2 . ¿Es entonces correcto escribir algo como esto?

∀ X 1 ∃ ( X 2 ∧ X 3 ) ( X 1 ≐ F 1 ( X 3 , X 2 ) ) ?

Quiero decir, todo número natural se puede escribir como factores, ya sea 1 por sí mismo o cualquier otro número, todo número natural se puede escribir como factores. Por eso elijo escribir ∀ X 1 . Entonces elijo escribir que existe algún número natural X 2 y algun numero natural X 3 tal que se cumple esta propiedad. ¿Es esta la forma correcta de expresar que X 2 es un divisor de X 1 ? También es ∃ ( X 2 ∧ X 3 ) lo mismo que ∃ X 2 ∧ ∃ X 3 ?

Si esta es la forma correcta de decirlo, pasemos a (b) donde quiero expresar eso X 1 es un número primo. Supongo que mi objetivo es usar (a) y decir que "bien, cada divisor de X 1 es 1 o X 1 ". Pero, ¿cómo continuaría y escribiría eso? Supongo que podría hacerlo algo así ∃ ( X 1 ∧ X 2 )  ...  ( X 1 ≐ F 1 ( F 2 , X 2 ) ∨ X 1 ≐ F 1 ( X 1 , X 2 ) ) Donde no estoy muy seguro de qué debo sustituir . . . Quiero expresar de alguna manera "por cada divisor de X 1 ". ¿Debo hacerlo algo así, para expresar cada divisor de X 1 ? ∀ ( X 1 = F 1 ( X 3 , X 2 ) ) ? Si no, ¿qué pasa? ¿O tal vez todo lo que escribí está mal? :) Por último, para (c), supongo que tengo que escribirlo así: ∀ norte ∃ X 1 ( PAG ( norte , φ ) ) dónde φ Cuál es la fórmula para el número primo?

¿Qué estoy haciendo mal aquí? ¿Qué he entendido mal? Quiero mejorar en la comprensión de cómo se pueden hacer fórmulas a partir de declaraciones y viceversa y realmente espero que alguien pueda ayudarme, gracias :)

Respuestas (1)

Algunos problemas pasando. Primero, notación: " ∃ ( X 2 ∧ X 3 ) ", incluso como parte de una fórmula, no está bien formado. Escribirías " ∃ X 2 ∃ X 3 " o " ∃ X 2 , X 3 ".

Semiformalmente, ¿cómo expresaría "x divide y"? Bueno, x divide a y si hay un z tal que y = X ⋅ z . ¿Puedes expresar eso en una fórmula, D ( X , y ) ?

De manera similar, x es primo iff X > 1 y para todos v , si v divide X entonces v = 1 o v = X . Ahora expresa eso en una fórmula PAG ( X ) que hace uso de D ( X ) .

Análogamente para (c).

Entonces, ¿quieres decir que hay algo mal con mi respuesta a (a)? Para (b) todavía me siento bastante inseguro, pero hice un intento, así es como se ve mi intento... ∃ X 1 , X 2 ∀ v ( PAG ( F 2 , X 1 ) ∧ X 1 ≐ F 1 ( v , X 2 ) → v ≐ 1 ∧ v ≐ X ) . Cuando escribes iff, en mi cabeza se ve así X ↔ ∃ X 1 , X 2 ∀ v ( PAG ( F 2 , X 1 ) ∧ X 1 ≐ F 1 ( v , X 2 ) → v ≐ 1 ∧ v ≐ X ) pero esto me parece un poco extraño. Debo haber entendido algo mal :)
Vaya, un error tipográfico/descuido que acabo de corregir: "... una fórmula, 𝖣(x,y)" no "D(x)".
Estoy completamente confundido por su notación. lo que sea F 1 , F 2 ? y ¿por qué a veces son variables, otras veces aparentemente símbolos de funciones? No son parte del lenguaje de primer orden para la estructura en cuestión, así que deshágase de ellos. En su intento de (b), toda la parte "∧x1≐f1(v,x2)" parece inútil y, de todos modos, incorrecta; desaste de eso. Necesitas X 1 ser una variable libre mientras intenta definir una fórmula que caracterice " X 1 es primo". "P(f2,x1)" debe ser " D ( v , X 1 ) " donde "D" es la fórmula "divide" de (a). Finalmente, " ∧ \cuña significa "y", quieres " ∨ \vee para "o"...
Ok, pero en el curso de lógica al que estoy asistiendo ahora mismo el profesor quiere que usemos F 1 para la multiplicación y F 2 por 1 (para este caso)
en.wikipedia.org/wiki/Functional_predicate . Donde la explicación dice "símbolo de función, es un símbolo lógico que se puede aplicar a un término de objeto para producir otro término de objeto" y así X 1 ⋅ X 2 produce otro término
Ohh OK entonces son símbolos de función. Pero entonces F 2 no tiene por qué ser un argumento para PAG . Continuando con el comentario anterior: si hiciste (a), tienes una fórmula con variables libres X 2 , X 1 expresando " X 2 divide X 1 ". Estoy seguro de que se supone que debes darle un nombre a esa fórmula, abreviado – sugerí D ( X 2 , X 1 ) – y utilícelo en (b). En (a) necesitarás F 1 solo. En (b), si usa D ( X 2 , X 1 ) , solo necesitarás F 2 , explícitamente, y solo tendrá una variable vinculada, X 2 , al frente, con un cuantificador universal . ¿Hay alguna razón por la que estás escribiendo? ≐ en lugar de solo = ??
sí, hay alguna razón, no puedo recordar la razón exacta en este momento;)
¿El requisito del profesor por ahora? Probablemente. Solo para que distingas claramente entre el lenguaje formal y las nociones intuitivas (de multiplicación, 1 e igualdad). Él tiene un punto.
Así que por favor ignora lo que dije hace 2 comentarios: F 2 tiene algo de negocio ser un argumento para las cosas, aunque F 1 no lo haría (en un lenguaje de primer orden). Es inusual usar F i para una constante cuando otra F j se utilizan para funciones. Sí, puede afirmar que "las constantes son funciones 0-arias", pero luego, por coherencia, debería escribir " F 1 ( ) "especialmente cuando el ejercicio está tratando de ser tan explícito, formal y... quisquilloso.
Está bien, tal vez debería ser más claro sobre el significado de cada símbolo que uso.
Es bueno cuando estás aprendiendo este material, ya que te ayuda a distinguir claramente entre sintaxis y semántica. Este problema tiene que ver con esa distinción, así como con la interacción entre ellos.
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