Elección específica de reglas de inferencia para el cálculo de predicados

Una respuesta intuitiva, en un mundo de fósforos y fuego y sin magia, es decir, uno no puede hacer fuego de la nada.

Considere una variable$x$para significar un palo de fósforo. Dejar$A(x)$significa "palo$x$fuma" y$C$significa "Hay fuego".

La regla "si$A(x)\Rightarrow C$entonces$(\exists x A(x))\Rightarrow C$dice lo muy obvio: "si el palo x fuma entonces hay fuego" significa "si hay algún palo$x$que fuma, entonces hay fuego". Esta frase vale en cualquier universo de fósforos.

Ahora, considere su regla "si$A(x)\Rightarrow C$entonces$(\forall x A(x))\Rightarrow C$". Dice lo siguiente: "si palo x fuma, entonces hay fuego" significa también que "si todos los palos$x$están fumando, entonces hay fuego". Esta derivación es válida solo en modelos que contienen al menos un objeto. Porque en un universo vacío que no tiene fósforos, todos los fósforos (que en realidad no son ninguno) están humeando. Sin embargo, puede haber ¡No hay fuego sin cerillas!

Las reglas adicionales que proporciona son de hecho válidas (en dominios no vacíos). La razón de esto es que la implicación$\forall x\, A(x) \Rightarrow \exists x\, A(x)$es válido (en dominios no vacíos); si no recuerdo mal, esto a veces se denomina "importación existencial".

Así que si$A(x) \Rightarrow C$, entonces tenemos los dos$\forall x\, A(x)\Rightarrow \exists x\, A(x)$y$\exists x\, A(x)\Rightarrow C$, entonces$\forall x\, A(x)\Rightarrow C$.

Y dualmente, si$C\Rightarrow A(x)$, entonces tenemos los dos$C\Rightarrow \forall x\, A(x)$y$\forall x\, A(x)\Rightarrow \exists x\, A(x)$, entonces$C\Rightarrow \exists x\, A(x)$.

Pero no sacamos de esto que$\exists$y$\forall$"actuar exactamente de la misma manera", porque las reglas que ha dado en su pregunta no captan totalmente el significado de$\exists$y$\forall$. Necesitas más reglas.

No estoy seguro de qué reglas usa Kleene, pero hay dos enfoques comunes:

1. Un enfoque es dar también los inversos de sus reglas: Si$\exists x\, A(x)\Rightarrow C$, entonces$A(x)\Rightarrow C$, y si$C\Rightarrow \forall x\, A(x)$, entonces$C\Rightarrow A(x)$(dónde$x$no es gratis en$C$).

2. Otro enfoque es incluir los axiomas$A(t)\Rightarrow \exists x\, A(x)$y$\forall x\, A(x)\Rightarrow A(t)$, dónde$t$es un término sustitutivo de$x$.

En cualquiera de estos enfoques, notará que si intenta reemplazar$\exists$por$\forall$o viceversa, las reglas obviamente no son sólidas.

Un comentario más: el enfoque clásico de la lógica de primer orden supone que cada estructura tiene un dominio no vacío. Pero esta suposición no es universal. Si nuestra semántica para la lógica de primer orden permite dominios vacíos, la importación existencial falla: si no hay$x$entonces$\forall x\, A(x)$es vagamente cierto, mientras que$\exists x\, A(x)$Es falso.

Y de manera similar, si permitimos dominios vacíos, entonces sus versiones de las reglas donde intercambiamos$\exists$y$\forall$ya no son validos. La respuesta de Frabala da un muy buen ejemplo intuitivo de esto.