¿Existe una fórmula simple para la autofuerza gravitatoria (debido a la emisión de ondas gravitacionales) en el límite clásico?

Uno de mis artículos favoritos de todos los tiempos es este de Burke (1971) . Calcula el amortiguamiento radiativo en GR, usando una técnica matemática llamada expansiones asintóticas combinadas. En el proceso, calcula el amortiguamiento radiativo de un oscilador armónico simple conectado a una cuerda que se extiende hasta el infinito y el amortiguamiento radiativo de una carga oscilante debido a la radiación EM. Ver esos dos resultados pone el resultado gravitatorio en un excelente contexto.

La fuerza resistiva que actúa por unidad de volumen sobre la densidad de masa,$\rho$, como resultado de la radiación gravitacional emitida por el momento multipolar de masa cambiante$q_{\ell m}(t)$es

$$F_R = - \frac{8\pi\sqrt{10}}{75} \rho\, r \sum_m Y_{21m} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)^5q_{2m},\quad\quad(\mathrm{eq.}\, 136)$$

donde hemos utilizado el cuadrupolo de orden principal,$\ell=2$.$Y_{21m}$es un armónico esférico vectorial que aparece como$Y_{\ell,\ell-1,m}$en la expresión completa. Este término surge de la expansión multipolar de la métrica, en este caso el multipolo actual (o parte del momento de la métrica,$g_{ti}$para$i\in\{r, \theta,\phi\}$). Esto tiene sentido ya que la fuerza de amortiguamiento debe estar relacionada con la conservación del momento de la radiación.

Burke se asegura de enfatizar algunas dificultades al calcular la reacción de radiación en GR en comparación con EM:

Otro punto es que no siempre se puede calcular la fuerza resistiva a partir de la ley de fuerza

$$F_R = \frac{1}{4}m\nabla\psi$$

(nota: comparar con$F_R = -q\nabla\phi$para el caso de radiación EM.)

Antes de que se usara la transformación de calibre para simplificar el problema, el menor$\ell$la dependencia de los potenciales vectorial y tensorial les permitía competir con el potencial escalar ($\psi$), y uno tenía que usar una ley de fuerza más completa (derivable escribiendo las ecuaciones para una geodésica...).

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Ahora aparece la gran diferencia entre la gravedad y el electromagnetismo. El campo electromagnético produce efectos solo a través de su ley de fuerza. Por otro lado, el campo gravitatorio no solo afecta el movimiento coordinado del sistema, sino que los potenciales mismos determinan las frecuencias de reloj y el comportamiento de los cuerpos rígidos. Hasta que uno conozca el [tensor potencial], uno no puede convertir las diferencias de coordenadas a la longitud adecuada sin cometer errores que son$\mathcal{O}(\kappa)$,

donde Burke define el parámetro de campo débil$\kappa \sim GM/(c^2r)$. Para sistemas ligados gravitacionalmente$\kappa \sim (v/c)^2$también está relacionado con la condición de cámara lenta.

La fuerza propia gravitatoria no es una cantidad invariante de calibre. Solo tiene sentido si se promedia durante un período de tiempo suficiente. Dicho esto, se puede calcular la cantidad de momento lineal que emite un objeto (promediado durante un período de tiempo apropiado) en función de las derivadas del tiempo. La fórmula para esto fue derivada por Kip Thorne en 1980 ( ref ), a los órdenes más bajos en la aproximación posnewtoniana. Por conservación del momento lineal, el objeto debe encontrar una fuerza de reacción de radiación en el opuesto (en unidades donde$G=c=1$)

$$F_{i,RR} = -\frac{dP_i}{dt} = -\Big\{\frac{2}{63} I^{(4)}_{ijk}I^{(3)}_{jk} +\frac{16}{45}\epsilon_{ijk}I^{(3)}_{jl} J^{(3)}_{kl} \Big\}$$

Aquí

• $I_{ij}$es el momento cuadripolar de masa (sin trazas simétricas, STF),
• $I_{ijk}$es el momento octopolar de masa (STF),
• $J_{ij}$es el momento cuadripolar actual (STF),
• $\epsilon_{ijk}$es el símbolo de Levi-Civita, y
• superíndices$^{(n)}$denota el$n$derivada del tiempo.

Esta expresión da la fuerza de reacción de radiación total en el sistema al que se aplican los momentos multipolares. En particular, no dará la fuerza sobre las masas individuales en un binario. Además de esta fuerza de reacción de radiación, el sistema en su conjunto experimentará un par debido a la emisión de ondas gravitacionales,

$$T_{i,RR} = -\frac{dJ_i}{dt} = -\frac{2}{5}\epsilon_{ijk}\Big\{\ I^{(2)}_{jl}I^{(3)}_{kl} +\frac{5}{126}I^{(3)}_{jlm} I^{(4)}_{klm} +\frac{16}{9}J^{(2)}_{jl} J^{(3)}_{kl}\Big\}.$$

Estos dos juntos le permitirían construir alguna versión de la fuerza en dos objetos en una órbita circular mutua. Tenga en cuenta, sin embargo, que al hacerlo, en principio, aún podría agregar fuerzas arbitrarias para las cuales la fuerza neta y el par neto en el sistema se cancelan. Estas son ambigüedades de calibre restantes que no se pueden resolver a priori sin elegir alguna condición de calibre.

Además la emisión de ondas gravitacionales puede producir esfuerzos y cortantes en el sistema. Si el sistema tiene modos de vibración adicionales (por ejemplo, excentricidad en un binario), estos pueden ser excitados o amortiguados por las fuerzas de reacción de la radiación.