Derivación del tensor de energía de estrés electromagnético en espacio-tiempo curvo

Esta es mi derivación

$$\begin{equation} T_{\mu\nu} = \frac{-2 c}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{M}}{\delta g^{\mu\nu}} \; . \end{equation}$$

$$\begin{equation} S_{EM}[g^{\mu\nu},A^\mu] = \frac{-1}{4 \mu_0}\int d^4x \sqrt{-g} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \; , \end{equation}$$ $$\begin{eqnarray} \delta_g S_{EM} &=& \frac{-1}{4 \mu_0}\int d^4x \bigg[ \delta_g(\sqrt{-g})F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} + \sqrt{-g} \delta_g (F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} ) \bigg] \; ,\\ &=&\frac{-1}{4 \mu_0}\int d^4x \bigg[ - \frac 1 2 d^4x \sqrt{-g} g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} + \sqrt{-g} \delta_g (F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} ) \bigg]\; .\\ \frac{\delta S_{EM}}{\delta g^{\mu\nu}} &=& \frac{-1}{4 \mu_0} \bigg[ - \frac 1 2 d^4x \sqrt{-g} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} + \sqrt{-g} \frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}} (F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} ) \bigg]\; . (1) \end{eqnarray}$$ Considere el último término en la forma vielbein $$\begin{equation} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = e^I_\alpha e^J_\beta F_{IJ} e^\alpha_K e^\beta_L F^{KL}\; .(2) \end{equation}$$ Lo hemos hecho aquí para aislar la estructura plana ( $g_{\mu\nu}$-independiente) de estructura curva. A continuación, usaremos la regla de la cadena $$\begin{equation} \frac{\delta\,\,}{\delta g^{\mu\nu}} = \frac{\delta\,\,}{\delta e^\lambda_P} \; \frac{\delta e^\lambda_P\,}{\delta g^{\mu\nu}}\;. (3) \end{equation}$$ De $g^{\mu\nu} = \eta^{MP}e^\mu_M e^\nu_P \;$tenemos $$\begin{equation} \delta g^{\mu\nu} = 2 \eta^{MP}e^\mu_M \delta^\nu_\lambda \, \delta e^\lambda_P\; .(4) \end{equation}$$ Usando (2), (3) y (4) podemos calcular el último término de (1) como $$\begin{eqnarray} \frac{\delta (F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} )}{\delta g^{\mu\nu}} &=& \frac{\delta}{\delta e^\lambda_P} (e^I_\alpha e^J_\beta F_{IJ} e^\alpha_K e^\beta_L F^{KL} ) \; \frac{\delta e^\lambda_P\,}{\delta g^{\mu\nu}}\;\\ &=& 4 e^I_\alpha e^J_\beta e^\alpha_K \frac{\delta e^\beta_L}{\delta e^\lambda_P} F_{IJ} F^{KL} \;\frac{\delta e^\lambda_P\,}{\delta g^{\mu\nu}}\;\\ &=& ( 4 e^I_\alpha e^J_\beta e^\alpha_K \delta^\beta_\lambda \delta^P_L F_{IJ} F^{KL} )(\frac 1 2 \eta_{MP} e^M_\mu \delta^\lambda_\nu )\;,\\ &=& 2 e^I_\alpha e^J_\beta e^\alpha_K \delta^\beta_\lambda \delta^P_L \delta^\lambda_\nu \, e^M_\mu \eta_{MP} \, F_{IJ}F^{KL}\;,\\ &=& 2 e^I_\alpha e^J_\nu e^\alpha_K e_{L \mu } F_{IJ} F^{KL}\;,\\ &=& 2 F_{\alpha \nu} F^\alpha {}_\mu = 2 g^{\alpha\beta} F_{\alpha \mu} F_{\beta \nu} \; . \end{eqnarray}$$ Entonces obtenemos $$\begin{equation} \frac{\delta S_{EM}}{\delta g^{\mu\nu}} = \frac{1}{8 \mu_0} d^4x \sqrt{-g} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} - \frac{1}{4 \mu_0} d^4x \sqrt{-g} (2 g^{\alpha\beta} F_{\alpha\mu} F_{\beta\nu})\;, \end{equation}$$ y el tensor de energía-momento del campo electromagnético dice $$\begin{equation} T_{\mu\nu} = \frac{-2 c}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{EM}}{\delta g^{\mu\nu}} = \frac c {\mu_0}g^{\alpha\beta} F_{\alpha\mu} F_{\beta\nu} -\frac {c} {4 \mu_0} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \; . \label{TEM} \end{equation}$$

Comience con la densidad hamiltoniana, la cantidad en el integrando de la definición del hamiltoniano:

$$H = \int d^3x \left( \psi_{,0} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi_{,0}} - \mathcal{L} \right) \equiv \int d^3x \,\mathcal{H}$$ $\mathcal{L}$, por supuesto, denota la densidad lagrangiana. Desde $\mathcal{H}$corresponde a la densidad hamiltoniana, debe ser el $(00)$componente del tensor energía-momento, es decir $T_{0}^{0}.$En lugar de algún campo genérico $\psi$, conecte el campo de fotones $A_\mu$y actualice la ecuación a la forma covariante completa: $$T_{\mu}^{\nu} = A_{\sigma ,\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\sigma ,\nu}} - \delta^{\nu}_{\mu} \mathcal{L}_{ED}$$ Desde $$\mathcal{L}_{ED} = -\frac{1}{4}F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$$ $$F^{\mu \nu} = A^{\nu,\mu} - A^{\mu,\nu}$$ un cálculo sencillo da $$T_{\mu}^{\, \, \nu} = \frac{1}{4} \left( -A^{\sigma}_{,\mu}F^{\nu}_{\,\, \sigma} + \frac{1}{4} \delta^{\nu}_{\mu} F^{\sigma \rho} F_{\sigma \rho} \right).$$ Este es el tensor canónico de energía-momento, que generalmente no es simétrico ni invariante de calibre. Para arreglar eso, simplemente haga que el tensor sea simétrico agregando un término adecuado (básicamente irrelevante) $S_{\sigma \mu \nu}$tal que: $$S_{\sigma \mu \nu} = - S_{\mu \sigma \nu}$$ $$\bar{T}_{\mu}^{\, \, \nu} = \bar{T}_{\nu}^{\, \, \mu} = T_{\mu}^{\, \, \nu} + \partial^\sigma S_{\sigma \mu \nu}$$ que debería darle la expresión correcta. Por cierto, el término que debe obtener es $S_{\mu \nu \sigma} = A_\sigma F_{\mu\nu}$. Simplemente puede enchufarlo como lo haría con cualquier otro ansantz y ver qué hace.

No he hecho el cálculo completo yo mismo con el fin de escribir esta respuesta, por lo que podría estar equivocado por un signo menos, una constante multiplicativa o hasta una permutación/reetiquetado de índices. Dime si ves algo mal (o edita la respuesta tú mismo). Pero esto debería ser suficiente para darle una idea de cómo derivarlo.